O wieżach potęgowych (II)

Spróbujmy rozwiązać następujące zadanie:

Zadanie. Znaleźć takie $b,$ dla którego

bbb::: b = 4.

Zauważmy, że wykładnik $bb::: b$ liczby $b$ w równaniu jest równy całemu wyrażeniu (które jest równe 4). Wynika z tego równość $|b4 = 4,$ a więc $√ -- √ -- b = 44 = 2.$ Gotowe. Czytelników Zaniepokojonych tak prostym rozwiązaniem prosimy o cierpliwość. Teraz drugie zadanie: rozwiązać równanie

a::: aaa = 2.

Postępując podobnie jak wyżej, otrzymujemy $-- |a = √ 2.$ Ale w takim razie $|a = b$ oraz

a::: b::: 2 = aaa = bbb = 4.

Zachęcamy Czytelnika do próby wyjaśnienia tego paradoksu przed lekturą kolejnych akapitów.

W artykule Porównywanie wież potęgowych (Delta 2/2019) wprowadziliśmy następującą notację:

a::: [a ,a ,a ,...] = aa23, 1 2 3 1

gdzie $ai$ dla $|i∈N$ to dowolna dodatnia liczba rzeczywista. Jak należy rozumieć nieskończone wieże potęgowe? Formalnie jest to granica ciągu liczbowego

[a1,a2,...] =nl im+∞[a1,a2,...,an].

Zatem albo wieża definiuje pewną liczbę, albo jest rozbieżna. Dla uproszczenia notacji, jeżeli $|a = a i$ dla $i∈ N,$ to będziemy zapisywać $|[a, a,...] = [a × ∞ ].$ Przykładem wieży rozbieżnej jest $|[2 × ∞ ] = +∞ ,$ natomiast $[1× ∞ ] = 1.$ Czy w takim razie w ogóle ma sens rozważać $a > 1?$

Które wieże zatem są zbieżne? W ogólnym przypadku, gdy składniki wieży są dowolne, trudno jest odpowiedzieć na to pytanie. My zajmiemy się prostszą sytuacją, gdy wieża ma postać $[a × ∞ ].$ Wtedy łatwo można wyznaczyć jej granicę. Istotnie, jeśli istnieje granica $[a × ∞ ]$ i wynosi ona $|x,$ to zachodzi

x = ax.

To prowadzi do wniosku, że $|a =√x x-.$ Ta równość wiąże w sposób istotny granicę wieży oraz jej składniki. W szczególności można ją traktować jak funkcję. Przyjrzyjmy się teraz następującemu twierdzeniu.

Twierdzenie (1). Niech $f (x) =√x x$ dla $|x ⩾1.$ Wtedy:

1.: $f [1,+∞ ) [1, e√ e];$
2.: $|lxi m+∞ f(x) = f(1) = 1;$
3.: Jeśli $|a∈ (1, e√ e),$ to równanie $f (x) = a$ ma takie dwa rozwiązania $x1$ i $x2,$ że $|x1 < e$ oraz $x2 > e;$
4.: Jeśli $a = e$ lub $a = 1,$ to równanie $| f(x) = a$ ma dokładnie jedno rozwiązanie;
5.: Jeśli $|a > e,$ to równanie $f(x) = a$ nie ma rozwiązań.

-- | f x xx — Wykres funkcji $| f x x x$ dla $|x$ w zakresie $| 1,10 .$
Zachodzi szacowanie:

$-- -- xx D ee.$

Z twierdzenia 1 możemy wyciągnąć wniosek, że jeśli $a > e√ e,$ to $|[a × ∞ ]$ nie istnieje. Dodatkowo, jeżeli $√e-- a ∈ [1, e ],$ to wtedy wieża $|[a × ∞ ]$ ma szansę być zbieżna. W szczególności, ponieważ $√ -- | f(e) = ee ,$ to $√ -- [ ee × ∞ ] = e.$ Robert Arthur Knoebel dowodzi, że $|[a × ∞ ]$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|a∈ [e−e, e√ e].$ My zaś wykażemy zbieżność w przypadku $√e-- a ∈(1, e) .$

Twierdzenie (1'). Jeśli $|a ∈(1, e√ e) ,$ to $[a ×∞ ]$ jest dobrze określona.

Dowód. Wykażemy, że ciąg $([a ×n])nA0$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym, z tego będzie wynikała zbieżność.

Najpierw wykażemy, że wartość wieży potęgowej $|[a × n]$ jest mniejsza niż $e$ dla każdego $n.$ Zauważmy, że $a < e.$ Załóżmy teraz, że $|[a × n] < e$ dla $n > 0.$ Wtedy

-- [a × (n +1)] = [a,a × n] < [a, e] < [e√ e,e] = e.

Na mocy zasady indukcji matematycznej ciąg jest więc ograniczony. Teraz wykażemy, że jest rosnący. Po pierwsze zauważmy, że gdy $|a$ należy do rozważanego przedziału, to zachodzi nierówność $|a < aa.$ Załóżmy, że $[a × (n− 1)] > [a ×(n − 2)]$ i wywnioskujemy z tego, że $| [a ×n] > [a ×(n − 1)].$ Zachodzi

[a × n] = [a,a × (n −1)] > [a, a× (n − 2)] = [a× (n − 1)].

Z zasady indukcji mamy, że ciąg $([a ×n]) nA0$ jest rosnący. Z faktu, że ciąg jest rosnący oraz ograniczony, wynika jego zbieżność.

Powyższe rozważania możemy wykorzystać do sformułowania następujących równości:

√ -- √4-- [ 2 × ∞ ] = [ 4 × ∞ ] = 2.

Ciekawostką jest, że jeżeli $a$ jest dodatnią liczbą naturalną, to tylko dla $|a = 1,2,4$ wartości wieże są liczbami wymiernymi - wszystkie pozostałe przypadki generują nie tylko liczby niewymierne, ale i przestępne! Ta i inne teorioliczbowe własności wież potęgowych zostały skumulowane w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie (2). Niech $e√ -- |a ∈(1, e)$ będzie liczbą algebraiczną. Wtedy:

1.

Jeśli

√b-- |a ≠ b

dla wszystkich wymiernych

b > 1,

[a × ∞ ]

jest liczbą przestępną;

2.

Jeśli

-- |a =√bb

dla pewnej liczby wymiernej

b > 1,

to:

(a)

jeśli

b ∈(1,e),

|[a × ∞ ] = b,

(b)

(przypadek przejściowy) jeśli

b = e,

[e√ e-×∞ ] = e

jest liczbą przestępną,

(c)

jeśli

b > e,

to:

(i): jeśli $1 s+1 b = (1+ s)$ dla pewnej liczby całkowitej $s > 1,$ to $s |[a × ∞ ] = (1+ 1s) ;$ [Dla $|s = 1$ otrzymujemy $b = 4$ oraz $|a =√4 2$ i $√ 2-× ∞ = 2$ ],
(ii): jeśli $b$ nie jest postaci $s+1 b = (1+ 1s)$ dla pewnej liczby całkowitej $|s > 1,$ to $[a ×∞ ]$ jest liczbą przestępną.

Dowód Twierdzenia 2 można znaleźć w pracy: M. Vassilev-Missana, Some Results on Infinite Power Towers z 2010 roku.

Punkt 2(c)(i) powyższego twierdzenia można wykorzystać do rozwiązania w liczbach wymiernych równania

√-- √ -- xx = yy ,

przy założeniach $|1 < x < e$ oraz $y > e.$ Wtedy

1 s 1 s+1 x = (1 + s) , y = (1+ s) , s = 1,2,3,...

W szczególności, dla $| s = 1$ otrzymujemy $| x = 2$ i $| y = 4$ oraz równość $√ -- √4-- | 2 = 4 .$ Dla $s = 2$ zaś otrzymujemy $9 x = 4$ i $27 y = 8$ oraz równość $|(9)49 = (27) 827-. 4 8$ Czytelnik zechce samodzielnie sprawdzić słuszność powyższych równości.

Wróćmy teraz do paradoksalnego rozumowania przedstawionego na początku artykułu. Przypomnijmy: wynika z niego, że $√ -- a = 2$ jest rozwiązaniem, ale samo rozumowanie prowadzące do tego wyniku nie jest satysfakcjonujące - dokonujemy pewnego podstawienia bez uprzedniej wiedzy na temat tego, czy $|[a × ∞ ]$ jest zbieżne. Dla $|a =√ 2-$ zdefiniujmy zatem $a = [a× n]. n$ Łatwo można wykazać zbieżność $an$ bez odwoływania się do trudnych twierdzeń. Mamy wszak $a1⩽ 2$ oraz

√ -- √ -- an = 2an 1⩽ 22 = 2,

zatem na mocy zasady indukcji matematycznej $|an ⩽2.$ Ponadto oczywiście $|a > a , n n−1$ więc ciąg $|a n$ jest zbieżny. Niech $|d$ będzie jego granicą, wtedy $d |d = a$ i skoro $d√ -- √ -- a = d = 2,$ to $d = 2$ lub $d = 4.$ Jednak rozwiązanie $|d = 4$ odrzucamy, gdyż $an ⩽2$ implikuje $d ⩽ 2.$ W takim razie $√ -- |[ 2 × ∞ ] = 2,$ ale zdecydowanie nie $√ -- [ 44 × ∞ ] = 4.$