Proste zadanie o wielomianach

Weźmy wielomian $| n p(x) = a(x + b)$ i obliczmy wszystkie jego niezerowe pochodne:

$pict$

Widzimy, że $p(x)$ ma wspólny pierwiastek z każdą ze swoich pochodnych $|p′ (x), p”(x),...,p n−1 (x).$ Czy są inne wielomiany o tej własności?

Wielomiany $p(x)$ i $p′(x)$ mają wspólny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $p(x)$ ma przynajmniej jeden pierwiastek wielokrotny. Tym samym rozwiązaliśmy zadanie dla $| n = 2,$ bo wielomian stopnia $| 2,$ mający pierwiastek wielokrotny, jest postaci $2 a(x + b) .$ Dla $|n = 3$ musimy jeszcze rozważyć wielomiany postaci $p(x) = a(x + b)2(x +c),$ gdzie $|b ≠c,$ jednak taki wielomian nie może mieć wspólnego pierwiastka ze swoją drugą pochodną $| p ”(x),$ o czym przekonuje nas rzut oka na rysunek. Zatem także dla $n = 3$ zadanie jest rozwiązane. Podobny argument - prosta analiza wzajemnego położenia pierwiastków wielomianu i jego pochodnych na podstawie twierdzenia Rolle'a - działa jeszcze dla $n = 4.$

Spróbujmy inaczej. Dla dowolnych dwóch wielomianów $p(x)$ i $|q(x)$ zdanie " $|p(x)$ i $q(x)$ mają wspólny czynnik" można zapisać jako równanie algebraiczne zawierające współczynniki tych wielomianów. Czytelnikom zainteresowanym szczegółami polecamy zapoznanie się z pojęciem rugownika (ang. resultant) dwóch wielomianów. Wobec tego warunek z treści zadania prowadzi do układu $n − 1$ równań algebraicznych w zmiennych $an,...,a0.$ Na przykład dla $| n = 2$ dostajemy znaną wszystkim "deltę":

2 a1 − 4a2a0 = 0,

a dla $| n = 3$ mamy warunki:

$pict$

i tak dalej. Pozostaje wykazać, że jedyne rozwiązania tak otrzymanego układu odpowiadają współczynnikom wielomianów postaci $|a(x +b)n.$ Jak dotychczas, możliwości obliczeniowe znanych algorytmów rozwiązywania układów równań algebraicznych kończą się na $n = 12,$ i w tym zakresie nasze zadanie można uznać za rozwiązane (zob. [1]).

Jak ważne jest założenie, że $p(x)$ ma wspólny pierwiastek ze wszystkimi swoimi pochodnymi do rzędu $| n − 1$ włącznie? Spójrzmy na przykład:

$pict$

Wielomian $|p(x)$ ma wspólny pierwiastek z każdą wymienioną pochodną z wyjątkiem pierwszej. Okazuje się, co więcej, że dla każdej takiej pary $k,n,$ że $1⩽ k ⩽ n− 1,$ można skonstruować wielomian stopnia $n,$ mający wspólny pierwiastek z każdą ze swoich pochodnych z wyjątkiem $|k$ -tej, i który nie jest postaci $a(x + b)n.$ Czytelnik może się o tym przekonać, eksperymentując z jednym z wielu programów (np. [2] lub [4]) pozwalających wizualizować wzajemne położenie pierwiastków wielomianu i pierwiastków jego pochodnych. Ambitniejszy Czytelnik, wykorzystując twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, może spróbować samodzielnie udowodnić nawet silniejsze twierdzenie: dla każdego wyboru $n − 2$ par liczb naturalnych $(ki,mi),$ spełniających $|1⩽ ki⩽ n −1$ oraz $1⩽ mi$ dla $i = 1,...,n −2,$ istnieje taki wielomian $f$ stopnia $|n,$ że $|m$ -ty co do wielkości pierwiastek $|ki$ -tej pochodnej $f$ jest również pierwiastkiem $| f$ oraz $f$ nie jest postaci $a(x + b)n.$

Czytelnik już na pewno podejrzewa, że nasze zadanie jest trudniejsze niż typowe zadanie olimpijskie, nawet jeżeli na takie wygląda. Faktycznie, jest ono znane jako hipoteza Casas-Alvero od nazwiska matematyka, który postawił ją na początku obecnego wieku w związku ze swoją pracą nad krzywymi algebraicznymi. Dokładniej rzecz biorąc, hipoteza Casas-Alvero mówi o wielomianach o współczynnikach zespolonych, mających wspólne pierwiastki zespolone ze swoimi pochodnymi. Nasze sformułowanie, potencjalnie łatwiejsze, jest jednak także problemem otwartym. Przez ponad dekadę nastąpił tylko nieznaczny postęp w pracach nad hipotezą, lecz Czytelnik nie powinien się tym zrażać - najprawdopodobniej niewielu matematyków nią się interesuje. Używając silnych narzędzi algebraicznych, udowodniono, na przykład, [3], że hipoteza jest prawdziwa dla wielomianów stopnia $k |n = p$ lub $|n = 2pk,$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą i w kilku innych szczególnych przypadkach. Po bieżące wyniki odsyłamy do publikacji dostępnych w Internecie.