Określona na półprostej  funkcja  jest ciągła i rosnąca, a zbiorem jej wartości jest półprosta  Można więc jednoznacznie zdefiniować funkcję  odwrotną do   tj. taką, że  dla każdego

Funkcję tę nazywa się obecnie funkcją Lamberta, ponieważ zagadnienia z nią związane rozważane były już przez osiemnastowiecznego matematyka Johanna Heinricha Lamberta (a także przez Eulera). Przydaje się ona do opisu rozwiązań ważnych w zastosowaniach równań różniczkowych z opóźnieniem i niektórych równań fizyki kwantowej, a także, jako funkcja tworząca, w kombinatoryce. Czytelnik zechce sprawdzić, że  jest rozwiązaniem równania  i ustalić, czy liczba ta jest mniejsza od 3.

Udowodnimy, że

Twierdzenie. Dla liczb zespolonych  dostatecznie bliskich zera (można też ograniczyć się do   rzeczywistych bez potrzeby wprowadzania zmian w dowodzie) funkcję  można przedstawić w postaci szeregu potęgowego

gdzie – ponieważ  gdy  więc dla wszystkich  dla których  szereg ten jest zbieżny.

Trzeba wykazać, że dla powyższego szeregu  równość  jest spełniona dla wszystkich  z pewnego otoczenia zera. Przyda się nam prosta tożsamość kombinatoryczna.

Dowód lematu. Rozważmy funkcje  Dla   niech  oznacza  czyli rodzinę tych funkcji ze zbioru  w zbiór  które nie przyjmują wartości   Dla dowolnych  mamy

Żadna z funkcji określonych na zbiorze -elementowym nie może przyjmować  różnych wartości, więc  to rodzina wszystkich funkcji ze zbioru  w zbiór  Zatem ze wzoru włączeń-wyłączeń wnioskujemy, że

a to już jest równoważne dowodzonej tezie.

---

Niech teraz  będzie taką liczbą dodatnią, że  Jeśli  to  więc  co usprawiedliwia zmianę kolejności sumowania:

Skorzystaliśmy tu ze znanego rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg potęgowy,  a następnie pogrupowaliśmy składniki według potęg parametru   Współczynnik przy   jest równy   a dla   mamy

na mocy lematu. Zatem wykazaliśmy, że  dla wszystkich liczb zespolonych  z koła otwartego o środku w zerze i promieniu  Zawiera się ono w spójnym podzbiorze otwartym płaszczyzny zespolonej

Czytelnik obeznany nieco z teorią funkcji analitycznych bez problemu wywnioskuje stąd, że  dla  a więc w szczególności dla   Przechodząc do granicy  otrzymamy też równość  czyli

Omówione rozwinięcie funkcji   w szereg to szczególny przypadek nieco bardziej skomplikowanego klasycznego wzoru Lagrange’a – jeśli  rozwija się w szereg potęgowy na pewnym otoczeniu zera, a ponadto  i   to istnieje funkcja analityczna   rozwijalna na pewnym otoczeniu zera w szereg  i taka, że  dla   dostatecznie bliskich zera, a przy tym

Gdy  to  skąd łatwo otrzymać współczynniki funkcji Lamberta.