Można to wysłowić w następujący równoważny i tendencyjny sposób.

Czy twierdzenie to można wzmocnić? Okazuje się, że tak! Zachodzi mianowicie

Zauważmy przede wszystkim, że jeśli liczba całkowita  nie dzieli się przez
to  Ponieważ  więc  oraz  Zatem  i stąd również Istnieją więc takie liczby całkowite  że  oraz  Wynika stąd, że wyjściowe liczby  są podzielne przez dowolnie wysokie potęgi liczby  a to jest możliwe tylko dla

Okazuje się, że można to jeszcze bardziej uogólnić!

Z równości  wynika bowiem, że

Z twierdzenia 2 wynika teraz, że  i stąd  Z równości  otrzymujemy ostatecznie

Jak Czytelnik słusznie przeczuwa, niemożliwości nie mogą rozpychać się w nieskończoność, a w naszym przypadku przygważdża je

Łatwo zauważyć, że powyższe twierdzenie można wypowiedzieć w następujący równoważny sposób:

Kluczowy jest poniższy lemat.

Dowód wynika z następujących tożsamości:

oraz

gdzie oznaczyliśmy

Z lematu 1 wynika przede wszystkim, że dla dowodu twierdzenia 4 wystarczy rozpatrzyć tylko przypadek  gdyż

Dowód przeprowadzimy przez indukcję ze względu na  Dla  oraz  mamy przedstawienia

Załóżmy z kolei, że  i teza zachodzi dla  Rozróżniamy teraz dwa przypadki. Jeżeli  jest liczbą złożoną, to  gdzie  oraz  Z lematu 1 wynika więc odpowiednie przedstawienie dla  Jeżeli  jest liczbą pierwszą, to sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyda się następujący

Załóżmy od razu, że  Reszty mod  liczb

są parami różne i jest ich  Podobnie, reszty mod  liczb

są parami różne i jest ich  Ponieważ wszystkich reszt mod  jest tylko  więc pewna reszta typu  pokrywa się z pewną resztą typu  co daje tezę lematu 2.

Ponieważ  więc w lemacie 2 możemy założyć, że liczby całkowite  i   spełniają dodatkowo nierówności

Mamy zatem oszacowania

Ponieważ  więc

Możemy zatem napisać

Na mocy założenia indukcyjnego liczba naturalna  ma przedstawienie

Wnosimy stąd na podstawie lematu 1, że liczba

też ma takie przedstawienie i to kończy dowód indukcyjny twierdzenia.

Wyniki przedstawione powyżej są kompletne, ale dość sztuczne. Szczęście nam sprzyjało, gdyż forma kwadratowa  jest tzw. formą normową dla algebry kwaternionowej – stąd wynika „cudowna” tożsamość wypisana w Lemacie 1. A gdyby nie pomagać szczęściu aż tak bardzo? Okazuje się, że prawdziwe jest następujące ogólne twierdzenie.

Dowód tego twierdzenia wymaga zastosowania poważnej i pięknej matematyki. Ważnymi jego składnikami są: prawo wzajemności dla reszt kwadratowych oraz twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym. To wszystko, i dużo więcej, znajdzie Czytelnik w zajmującej książce: Z.I. Borewicz, I.R. Szafarewicz, Теория чисел, Moskwa 1985 (istnieją tłumaczenia na angielski i niemiecki).