Próba zrozumienia nieskończoności dla człowieka, który w istocie rzeczy żyje otoczony wielkościami skończonymi (a przynajmniej takie mu się one na pierwszy rzut oka wydają), często opiera się na swoistym przeniesieniu doświadczeń czy intuicji znanych mu z jego „skończonego” świata, co zwykle kończy się niepowodzeniem. Dobrym tego przykładem są szeregi, czyli obiekty matematyczne, które (niezbyt precyzyjnie pisząc) uogólniają pojęcie sumy na przypadek nieskończenie wielu składników.

Już ze szkoły średniej wiadomo, że taka uogólniona suma nieskończonej ilości dodatnich składników może być skończona (przekonuje o tym chociażby wzór na sumę składników nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie  w przypadku, gdy ). Gdy pojawia się zatem problem obliczenia sumy odwrotności wszystkich liczb naturalnych, czyli szeregu  intuicja podparta wyliczeniem kilku jego początkowych sum częściowych sugeruje, że wielkość ta jest skończona, a nawet niezbyt duża. To podejrzenie wzmacnia użycie dowolnego kalkulatora czy komputera – od pewnego momentu pojawiające się na ich ekranach sumy częściowe  nie ulegają zmianie. Czy zatem rzeczywiście szereg  zwany szeregiem harmonicznym, jest zbieżny? Otóż nie! Co więcej, nawet nietrudno to wykazać. Wystarczy w tym celu zauważyć, że pewne sumy częściowe szeregu harmonicznego łatwo oszacować z dołu w następujący sposób:

a otrzymane dolne oszacowanie przy  dąży przecież do nieskończoności.

Wiemy już, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, w jaki sposób możemy jednak znaleźć liczbę składników  dla których  przekroczy zadaną z góry liczbę? Próba odpowiedzi na to pytanie poprzez zwyczajne dodawanie kolejnych składników naszego szeregu nie zaprowadzi nas daleko, nawet jeśli wspomożemy się komputerem. Z pomocą przyjdzie nam, oczywiście, matematyka, a konkretnie całki. Zauważmy bowiem, że dla dowolnego  oraz  mamy oczywistą nierówność  zachodzi więc również

a zatem

W analogiczny sposób, biorąc jako punkt wyjścia nierówność  prawdziwą dla każdego  możemy otrzymać

co ostatecznie prowadzi do następującego oszacowania sum częściowych  szeregu harmonicznego:

(1)

Co więcej, można również wykazać, że przy  istnieje skończona granica ciągu  Wynika to z faktu, że ciąg  jest ściśle malejący, o czym świadczy poniższy rachunek

oraz ograniczony, gdyż z (1) otrzymujemy

Oznaczając jego granicę przez  i ponownie wykorzystując monotoniczność ciągu  oraz (1), możemy zapisać

(2)

Ostatnia nierówność mówi nam, że w praktyce  dość dokładnie można przybliżyć przez  Stała  pełni na tyle istotną rolę w matematyce, że otrzymała nawet swoją nazwę (nazywa się ją stałą Eulera bądź czasami stałą Eulera–Mascheroniego). W porównaniu z dwiema najsłynniejszymi stałymi, czyli  oraz  nadal niezbyt wiele o niej wiadomo (kwestią otwartą jest chociażby to, czy  jest liczbą algebraiczną; nie wiadomo nawet, czy jest ona liczbą wymierną).

Korzystając z (1), łatwo oszacować sumę kolejnych składników szeregu harmonicznego. I tak, na przykład,  znajduje się między  a   zaś  między  a   Podobnie łatwo oszacować, ile trzeba dodać kolejnych składników tego szeregu, aby przekroczyć ustaloną wartość. Jak Czytelnik sądzi, kiedy  przekroczy  Stanie się to, gdy dodamy mniej więcej  pierwszych składników szeregu harmonicznego. To naprawdę ogromna liczba. Nawet najszybszy polski superkomputer, Zeus, o mocy obliczeniowej równej mniej więcej  operacji zmiennoprzecinkowych wykonywanych na sekundę, musiałby obliczać tę sumę (przy założeniu, że dodanie dwóch kolejnych składników to jedna operacja) bez przerwy przez... około  lat (wiek Wszechświata szacuje się raptem na  lat)! Ta bardzo wolna rozbieżność szeregu harmonicznego jest jedną z jego wielu interesujących własności.

Nasuwa się naturalne pytanie: czy w klasie szeregów o dodatnich wyrazach  istnieją może jeszcze wolniej rozbieżne szeregi? Nim odpowiemy na to pytanie, musimy sprecyzować, co będziemy rozumieli pod pojęciem wolniejszej rozbieżności. Niech zatem dane będą dwa szeregi rozbieżne  o wyrazach dodatnich. Powiemy, że szereg  jest wolniej rozbieżny niż szereg  jeżeli

(czyli od pewnego indeksu wyrazy pierwszego szeregu będą „znacząco” mniejsze od wyrazów drugiego). Okazuje się, że w rozważanej przez nas klasie możemy konstruować szeregi tak wolno zmierzające ku nieskończoności, jak tylko chcemy. Swoistą „maszynką” do ich tworzenia jest bowiem następujące twierdzenie, pochodzące od Abela i Diniego:

---

Powyższe twierdzenie orzeka w szczególności, że nie istnieje szereg „najwolniej” rozbieżny.

Zapewne najbardziej znaną rodzinę coraz wolniej rozbieżnych szeregów tworzą

czyli, po przenumerowaniu składników, szeregi

Aby uwidocznić, jak wolno ich sumy częściowe zbiegają do nieskończoności, wystarczy ponownie przeprowadzić rozumowanie, które pozwoliło nam uzyskać wzór (2) dla szeregu harmonicznego (zauważmy, że w każdym z przypadków funkcje pod znakiem szeregu są ściśle malejące). Otrzymamy wówczas następujące oszacowania sum częściowych  pierwszych trzech szeregów tej rodziny, prawdziwe dla :

• dla szeregu (S1)

• dla szeregu (S2)

• dla szeregu (S3)
  

Co z nich wynika? Przede wszystkim to, że pojęcie wolnej rozbieżności jest bardzo względne. Szereg harmoniczny, który dąży do nieskończoności w niesamowicie wolnym, wydawałoby się, tempie, przy szeregach (S1)–(S3) zdaje się do niej pędzić wręcz z zawrotną prędkością. Przykładowo, wartość  szereg (S1) przekroczy dopiero po dodaniu około  początkowych swoich wyrazów, zaś szereg (S2) – po zsumowaniu aż  początkowych wyrazów. Dla porównania szereg harmoniczny potrzebuje na to zaledwie  składników. Co ciekawe, to „człapanie” do nieskończoności szeregów (S1)–(S3), a także pozostałych członków tej rodziny, jest tak wolne, że gdy tylko odpowiednio zmniejszymy ich składniki, czyli utworzymy nową rodzinę szeregów postaci

dla dowolnego  to w końcu zatrzymają się one w swym powolnym marszu ku nieskończoności i staną się zbieżne. Z jednej strony jest to na pewno zaskakujący rezultat, gdyż, na przykład, szeregi

nie wydają się zbytnio różnić na pierwszy rzut oka. Jednakże z drugiej strony, jak już wspomnieliśmy, nasze intuicje w zderzeniu z pojęciem nieskończoności często okazują się błędne. Jest to jednak zrozumiałe, w końcu nawet sam Abel, który był genialnym matematykiem i jak niewielu rozumiał ten „boski alfabet”, powiedział przecież, że „rozbieżne szeregi są diabelskim wynalazkiem”.