Przeskocz do treści

Delta mi!

Nieznane wykresy znanych funkcji

Piotr Pikul

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: styczeń 2013
  • Publikacja elektroniczna: 01-01-2013
  • Autor: Piotr Pikul
    Afiliacja: uczeń VIII LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Katowicach, laureat trzeciego miejsca na XXIX Ogólnopolskim Sejmiku Matematyków w Szczyrku
  • Wersja do druku [application/pdf]: (181 KB)

Zaczęło się od okręgu. Wykres funkcji sinus okazał się okręgiem. Jak to możliwe? Okazuje się, że czasem lekkie odstąpienie od utartego punktu widzenia może nas daleko zaprowadzić. Wystarczy, na przykład, wybrać inny niż prostokątny układ współrzędnych do przedstawiania wykresów funkcji.

Pierwszym układem współrzędnych, jaki nasuwa nam się zamiast układu prostokątnego, jest układ biegunowy. Dla przypomnienia, w tym układzie punkt o współrzędnych math leży na półprostej tworzącej z ustaloną osią biegunową kąt skierowany o mierze math w odległości math od ustalonego bieguna. Dla ujemnych wartości math przyjmujemy, że punkt leży po przeciwnej stronie bieguna, czyli że math

obrazek

Rys. 1 Wykres funkcji liniowej we współrzędnych biegunowych, złożony z dwóch spiral Archimedesa

Rys. 1 Wykres funkcji liniowej we współrzędnych biegunowych, złożony z dwóch spiral Archimedesa

obrazek

Rys. 2 Spirala logarytmiczna

Rys. 2 Spirala logarytmiczna

obrazek

Rys. 3 Wykresy funkcji sinus (kolorowy) i cosinus (czarny) w układzie biegunowym

Rys. 3 Wykresy funkcji sinus (kolorowy) i cosinus (czarny) w układzie biegunowym

Dopuszczenie miar kąta spoza przedziału math oraz ujemnych wartości promienia powoduje, że układ biegunowy przestaje spełniać klasyczną definicję układu współrzędnych – przyporządkowanie współrzędnych punktowi przestaje być jednoznaczne. Z punktu widzenia zastosowania układu biegunowego do przedstawiania wykresów funkcji oznacza to, że z takiego wykresu nie da się odczytywać wartości funkcji.

Przyjrzyjmy się wykresom kilku elementarnych funkcji w układzie biegunowym. Na początek przyjmijmy, że zmienną niezależną jest kąt math Wykres funkcji liniowej math okazuje się spiralą Archimedesa (Rys. 1). Wykresem funkcji wykładniczej math jest zaś spirala logarytmiczna (Rys. 2), przecinająca wszystkie półproste wychodzące z bieguna pod jednakowym kątem. Wykresy funkcji trygonometrycznych sinus math i cosinus math przybiorą kształt okręgów (Rys. 3). Funkcje trygonometryczne, a także funkcje budowane na ich podstawie, dają zwykle ciekawe wykresy w układzie biegunowym. Na przykład math to prosta, a  math to brzeg kwadratu.

Zachęcam do własnych badań nad wykresami funkcji math a także funkcji math – zwykle otrzymujemy wtedy zupełnie inne rezultaty.

Abstrahując od konkretnych funkcji, możemy także zastanowić się nad ogólniejszymi własnościami. Na przykład wykres każdej funkcji nieparzystej math we współrzędnych biegunowych jest symetryczny względem prostej prostopadłej do osi biegunowej. Wykres funkcji parzystej math jest z kolei symetryczny względem osi biegunowej. Fakty te można stosunkowo prosto wykazać, korzystając z zależności między współrzędnymi biegunowymi a prostokątnymi.

Z tematem niekonwencjonalnych wykresów funkcji wiąże się jeszcze (co najmniej) jeden ciekawy okrąg. Nazwałem go okręgiem liczbowym, gdyż każdemu jego punktowi odpowiada liczba rzeczywista. Konstrukcja okręgu liczbowego opiera się na rzucie stereograficznym. Okrąg o jednostkowej średnicy jest styczny do osi liczbowej w jej początku. Punkt math o współrzędnej math na okręgu liczbowym leży na odcinku łączącym punkt o współrzędnej math na osi liczbowej z punktem antypodycznym do punktu styczności (środkiem rzutu stereograficznego). Samemu środkowi rzutu przyporządkowujemy wartość math

Tak zdefiniowany okrąg liczbowy ma dość interesujące własności. Na wstępie warto zauważyć, że liczba przypisana danemu punktowi math na okręgu jest tak naprawdę równa math (patrz Rys. 4). Korzystając ze wzorów redukcyjnych, można wykazać, że średnica okręgu liczbowego łączy ze sobą punkty odpowiadające liczbom, których iloczyn wynosi math Ponadto każda liczba dodatnia i jej odwrotność są równoodległe od math a liczba ujemna i jej odwrotność – równoodległe od math

obrazek

Rys. 4 Konstrukcja okręgu liczbowego

Rys. 4 Konstrukcja okręgu liczbowego

Jaki jest związek okręgu liczbowego z wykresami funkcji? Jak sama nazwa wskazuje, można go wykorzystać zamiast osi liczbowej i skonstruować całkiem ciekawy układ współrzędnych na nieograniczonej powierzchni walcowej. W takim układzie jedna oś współrzędnych jest klasyczną osią liczbową pokrywającą się z jedną z tworzących, a drugą oś stanowi okrąg liczbowy ułożony prostopadle do tworzących. W takim układzie współrzędnych wykres funkcji odwrotność, czyli math okazuje się spójną krzywą (jeśli przyjmiemy, że dla argumentu math funkcja odwrotność jest określona i przyjmuje wartość math ).

Dla uproszczenia, możemy sobie wyobrazić (Rys. 5), że rozcinamy powierzchnię walca wzdłuż prostej o rzędnej równej math otrzymując pas bez brzegu (przy okazji pozbywamy się kontrowersyjnej liczby math ). W swojej pracy nazwałem przyporządkowanie parom liczb rzeczywistych punktów takiego pasa Y-ograniczonym odwzorowaniem współrzędnych. Formalnie, odwzorowanie Y-ograniczone przyporządkowuje parze liczb rzeczywistych math punkt płaszczyzny o współrzędnych prostokątnych math

W odwzorowaniu Y-ograniczonym wykresy niektórych funkcji zyskują wartość estetyczną, której nie przejawiają przy przedstawianiu w układzie prostokątnym. Na przykład wykres funkcji tangens w takim odwzorowaniu składa się z prostych odcinków, które po nawinięciu wykresu na walec (i uzupełnieniu funkcji tangens o wartości nieskończone w punktach nieokreśloności) tworzą linię śrubową. Wynika to, oczywiście, z wykorzystania funkcji tangens do konstrukcji odwzorowania Y-ograniczonego.

Najciekawszym (i jednocześnie prostym) przykładem wydaje mi się jednak funkcja wykładnicza. Jej wykres w odwzorowaniu Y-ograniczonym ma środek symetrii w punkcie math przecięcia z  „osią” rzędnych (Rys. 6). Wynika to z faktu, że math zatem jeśli punkt math  należy do wykresu, punkt math  również do niego należy. Zgodnie z własnościami okręgu liczbowego wzajemnie odwrotne liczby dodatnie są równoodległe od math czyli punkty math  i  math  które są równoodległe od punktu math w poziomie, będą od niego równoodległe także w pionie, czyli są środkowo symetryczne względem math Ponieważ każdy punkt wykresu należy do niego wraz ze swym obrazem w symetrii względem math więc cały wykres jest środkowo symetryczny.

W ograniczaniu obszaru wykresu można posunąć się jeszcze dalej. Gdy obie osie prostokątnego układu współrzędnych zastąpimy rozciętymi okręgami liczbowymi – otrzymamy odwzorowanie XY-ograniczone. Przeciwdziedziną XY-ograniczonego odwzorowania współrzędnych jest kwadrat o boku math (bez brzegu). Zgodnie z formalną definicją, w tym odwzorowaniu parze liczb math odpowiada punkt płaszczyzny o współrzędnych prostokątnych math Odwzorowanie XY-ograniczone daje nam możliwość przedstawienia (na ograniczonej powierzchni) wykresu funkcji w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

obrazek

Rys. 7 Wykres funkcji odwrotność w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

Rys. 7 Wykres funkcji odwrotność w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

obrazek

Rys. 8 Wykresy przykładowych funkcji wykładniczej (czarny) i logarytmicznej (kolorowy) w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

Rys. 8 Wykresy przykładowych funkcji wykładniczej (czarny) i logarytmicznej (kolorowy) w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

obrazek

Rys. 9 Wykres funkcji math ograniczony krzywymi math i  math odwzorowanie XY-ograniczone zachowuje punkty przecięcia wykresów i pozwala porównywać wartości funkcji.

Rys. 9 Wykres funkcji math ograniczony krzywymi math i  math odwzorowanie XY-ograniczone zachowuje punkty przecięcia wykresów i pozwala porównywać wartości funkcji.

obrazek

Rys. 10 Wykres math powstały przez odbicie wykresu math

Rys. 10 Wykres math powstały przez odbicie wykresu math

Jako pierwszy przykład wykresu funkcji w odwzorowaniu XY-ograniczonym rozpatrzmy wykres funkcji odwrotność (Rys. 7). Składa się on z dwóch prostych odcinków (bez końców). Odcinki te są równoległe do wykresu funkcji liniowej math w tym odwzorowaniu, co wynika ze wspomnianej już własności okręgu liczbowego: liczby math i  math leżą naprzeciwko siebie, a co za tym idzie, na „rozprostowanym” okręgu liczbowym odległość pomiędzy math a  math jest stała – równa połowie długości okręgu. Na tej podstawie wykres funkcji math można otrzymać, przesuwając wykres funkcji math (fragmentami, oczywiście).

Podobnie jak w odwzorowaniu Y-ograniczonym, tak w XY-ograniczonym wykres funkcji wykładniczej ma środek symetrii (dowód jest dokładnie taki sam jak dla odwzorowania Y-ograniczonego). Różnica dotyczy wykresu funkcji logarytmicznej (o której dotąd nie pisałem), ponieważ w odwzorowaniu XY-ograniczonym on także ma środek symetrii (w punkcie przecięcia z  „osią” odciętych). Funkcje wzajemnie odwrotne w odwzorowaniu XY-ograniczonym mają tę samą charakterystyczną cechę co w klasycznym układzie prostokątnym: są symetryczne względem prostej math

Jeśli punkt wykresu funkcji math o współrzędnych XY-ograniczonych math przechodzi na punkt math wykresu funkcji math to w przeliczeniu na współrzędne prostokątne punkt math przechodzi na math – odbicie punktu wykresu funkcji math względem prostej math

Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden szczegół związany z wykresami w odwzorowaniach ograniczonych. Wykres funkcji math powstaje przez odbicie symetryczne fragmentu wykresu funkcji math obejmującego wartości dodatnie oraz fragmentu obejmującego wartości ujemne względem prostych, odpowiednio, math i  math (Rys. 10). Wynika to, oczywiście, z wielokrotnie tu wspominanych własności okręgu liczbowego.

Moja podróż po świecie niekonwencjonalnych układów współrzędnych prowadziła mnie przez świat niespotykany w szkolnych podręcznikach matematyki. Spirale i zamknięte krzywe będące wykresami funkcji w układzie biegunowym oraz mieszczące się na ograniczonej powierzchni wykresy w odwzorowaniu XY-ograniczonym nie wyczerpują tematu „nieznanych wykresów funkcji”. Zachęcam Czytelnika do zgłębiania tematu niezwykłych wykresów we własnym zakresie. Można analizować różne funkcje, wybrać inne układy współrzędnych, przedstawiać wykresy w przestrzeniach innych niż płaszczyzna euklidesowa... Temat wydaje się niewyczerpany.