Pierwszym układem współrzędnych, jaki nasuwa nam się zamiast układu prostokątnego, jest układ biegunowy. Dla przypomnienia, w tym układzie punkt o współrzędnych  leży na półprostej tworzącej z ustaloną osią biegunową kąt skierowany o mierze  w odległości  od ustalonego bieguna. Dla ujemnych wartości  przyjmujemy, że punkt leży po przeciwnej stronie bieguna, czyli że

Rys. 1 Wykres funkcji liniowej we współrzędnych biegunowych, złożony z dwóch spiral Archimedesa

Rys. 2 Spirala logarytmiczna

Rys. 3 Wykresy funkcji sinus (kolorowy) i cosinus (czarny) w układzie biegunowym

Dopuszczenie miar kąta spoza przedziału  oraz ujemnych wartości promienia powoduje, że układ biegunowy przestaje spełniać klasyczną definicję układu współrzędnych – przyporządkowanie współrzędnych punktowi przestaje być jednoznaczne. Z punktu widzenia zastosowania układu biegunowego do przedstawiania wykresów funkcji oznacza to, że z takiego wykresu nie da się odczytywać wartości funkcji.

Przyjrzyjmy się wykresom kilku elementarnych funkcji w układzie biegunowym. Na początek przyjmijmy, że zmienną niezależną jest kąt  Wykres funkcji liniowej  okazuje się spiralą Archimedesa (Rys. 1). Wykresem funkcji wykładniczej  jest zaś spirala logarytmiczna (Rys. 2), przecinająca wszystkie półproste wychodzące z bieguna pod jednakowym kątem. Wykresy funkcji trygonometrycznych sinus  i cosinus  przybiorą kształt okręgów (Rys. 3). Funkcje trygonometryczne, a także funkcje budowane na ich podstawie, dają zwykle ciekawe wykresy w układzie biegunowym. Na przykład  to prosta, a   to brzeg kwadratu.

Zachęcam do własnych badań nad wykresami funkcji  a także funkcji – zwykle otrzymujemy wtedy zupełnie inne rezultaty.

Abstrahując od konkretnych funkcji, możemy także zastanowić się nad ogólniejszymi własnościami. Na przykład wykres każdej funkcji nieparzystej  we współrzędnych biegunowych jest symetryczny względem prostej prostopadłej do osi biegunowej. Wykres funkcji parzystej  jest z kolei symetryczny względem osi biegunowej. Fakty te można stosunkowo prosto wykazać, korzystając z zależności między współrzędnymi biegunowymi a prostokątnymi.

Z tematem niekonwencjonalnych wykresów funkcji wiąże się jeszcze (co najmniej) jeden ciekawy okrąg. Nazwałem go okręgiem liczbowym, gdyż każdemu jego punktowi odpowiada liczba rzeczywista. Konstrukcja okręgu liczbowego opiera się na rzucie stereograficznym. Okrąg o jednostkowej średnicy jest styczny do osi liczbowej w jej początku. Punkt  o współrzędnej  na okręgu liczbowym leży na odcinku łączącym punkt o współrzędnej  na osi liczbowej z punktem antypodycznym do punktu styczności (środkiem rzutu stereograficznego). Samemu środkowi rzutu przyporządkowujemy wartość

Tak zdefiniowany okrąg liczbowy ma dość interesujące własności. Na wstępie warto zauważyć, że liczba przypisana danemu punktowi  na okręgu jest tak naprawdę równa (patrz Rys. 4). Korzystając ze wzorów redukcyjnych, można wykazać, że średnica okręgu liczbowego łączy ze sobą punkty odpowiadające liczbom, których iloczyn wynosi  Ponadto każda liczba dodatnia i jej odwrotność są równoodległe od  a liczba ujemna i jej odwrotność – równoodległe od

Rys. 4 Konstrukcja okręgu liczbowego

Jaki jest związek okręgu liczbowego z wykresami funkcji? Jak sama nazwa wskazuje, można go wykorzystać zamiast osi liczbowej i skonstruować całkiem ciekawy układ współrzędnych na nieograniczonej powierzchni walcowej. W takim układzie jedna oś współrzędnych jest klasyczną osią liczbową pokrywającą się z jedną z tworzących, a drugą oś stanowi okrąg liczbowy ułożony prostopadle do tworzących. W takim układzie współrzędnych wykres funkcji odwrotność, czyli  okazuje się spójną krzywą (jeśli przyjmiemy, że dla argumentu  funkcja odwrotność jest określona i przyjmuje wartość ).

Dla uproszczenia, możemy sobie wyobrazić (Rys. 5), że rozcinamy powierzchnię walca wzdłuż prostej o rzędnej równej  otrzymując pas bez brzegu (przy okazji pozbywamy się kontrowersyjnej liczby ). W swojej pracy nazwałem przyporządkowanie parom liczb rzeczywistych punktów takiego pasa Y-ograniczonym odwzorowaniem współrzędnych. Formalnie, odwzorowanie Y-ograniczone przyporządkowuje parze liczb rzeczywistych  punkt płaszczyzny o współrzędnych prostokątnych

W odwzorowaniu Y-ograniczonym wykresy niektórych funkcji zyskują wartość estetyczną, której nie przejawiają przy przedstawianiu w układzie prostokątnym. Na przykład wykres funkcji tangens w takim odwzorowaniu składa się z prostych odcinków, które po nawinięciu wykresu na walec (i uzupełnieniu funkcji tangens o wartości nieskończone w punktach nieokreśloności) tworzą linię śrubową. Wynika to, oczywiście, z wykorzystania funkcji tangens do konstrukcji odwzorowania Y-ograniczonego.

Najciekawszym (i jednocześnie prostym) przykładem wydaje mi się jednak funkcja wykładnicza. Jej wykres w odwzorowaniu Y-ograniczonym ma środek symetrii w punkcie  przecięcia z  „osią” rzędnych (Rys. 6). Wynika to z faktu, że  zatem jeśli punkt  należy do wykresu, punkt  również do niego należy. Zgodnie z własnościami okręgu liczbowego wzajemnie odwrotne liczby dodatnie są równoodległe od  czyli punkty  i   które są równoodległe od punktu  w poziomie, będą od niego równoodległe także w pionie, czyli są środkowo symetryczne względem  Ponieważ każdy punkt wykresu należy do niego wraz ze swym obrazem w symetrii względem  więc cały wykres jest środkowo symetryczny.

W ograniczaniu obszaru wykresu można posunąć się jeszcze dalej. Gdy obie osie prostokątnego układu współrzędnych zastąpimy rozciętymi okręgami liczbowymi – otrzymamy odwzorowanie XY-ograniczone. Przeciwdziedziną XY-ograniczonego odwzorowania współrzędnych jest kwadrat o boku (bez brzegu). Zgodnie z formalną definicją, w tym odwzorowaniu parze liczb  odpowiada punkt płaszczyzny o współrzędnych prostokątnych  Odwzorowanie XY-ograniczone daje nam możliwość przedstawienia (na ograniczonej powierzchni) wykresu funkcji w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Rys. 7 Wykres funkcji odwrotność w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

Rys. 8 Wykresy przykładowych funkcji wykładniczej (czarny) i logarytmicznej (kolorowy) w odwzorowaniu XY-ograniczonym.

Rys. 9 Wykres funkcji  ograniczony krzywymi  i   odwzorowanie XY-ograniczone zachowuje punkty przecięcia wykresów i pozwala porównywać wartości funkcji.

Rys. 10 Wykres  powstały przez odbicie wykresu

Jako pierwszy przykład wykresu funkcji w odwzorowaniu XY-ograniczonym rozpatrzmy wykres funkcji odwrotność (Rys. 7). Składa się on z dwóch prostych odcinków (bez końców). Odcinki te są równoległe do wykresu funkcji liniowej  w tym odwzorowaniu, co wynika ze wspomnianej już własności okręgu liczbowego: liczby  i   leżą naprzeciwko siebie, a co za tym idzie, na „rozprostowanym” okręgu liczbowym odległość pomiędzy  a   jest stała – równa połowie długości okręgu. Na tej podstawie wykres funkcji  można otrzymać, przesuwając wykres funkcji (fragmentami, oczywiście).

Podobnie jak w odwzorowaniu Y-ograniczonym, tak w XY-ograniczonym wykres funkcji wykładniczej ma środek symetrii (dowód jest dokładnie taki sam jak dla odwzorowania Y-ograniczonego). Różnica dotyczy wykresu funkcji logarytmicznej (o której dotąd nie pisałem), ponieważ w odwzorowaniu XY-ograniczonym on także ma środek symetrii (w punkcie przecięcia z  „osią” odciętych). Funkcje wzajemnie odwrotne w odwzorowaniu XY-ograniczonym mają tę samą charakterystyczną cechę co w klasycznym układzie prostokątnym: są symetryczne względem prostej

Jeśli punkt wykresu funkcji  o współrzędnych XY-ograniczonych  przechodzi na punkt  wykresu funkcji  to w przeliczeniu na współrzędne prostokątne punkt  przechodzi na – odbicie punktu wykresu funkcji  względem prostej

Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden szczegół związany z wykresami w odwzorowaniach ograniczonych. Wykres funkcji  powstaje przez odbicie symetryczne fragmentu wykresu funkcji  obejmującego wartości dodatnie oraz fragmentu obejmującego wartości ujemne względem prostych, odpowiednio,  i  (Rys. 10). Wynika to, oczywiście, z wielokrotnie tu wspominanych własności okręgu liczbowego.

Moja podróż po świecie niekonwencjonalnych układów współrzędnych prowadziła mnie przez świat niespotykany w szkolnych podręcznikach matematyki. Spirale i zamknięte krzywe będące wykresami funkcji w układzie biegunowym oraz mieszczące się na ograniczonej powierzchni wykresy w odwzorowaniu XY-ograniczonym nie wyczerpują tematu „nieznanych wykresów funkcji”. Zachęcam Czytelnika do zgłębiania tematu niezwykłych wykresów we własnym zakresie. Można analizować różne funkcje, wybrać inne układy współrzędnych, przedstawiać wykresy w przestrzeniach innych niż płaszczyzna euklidesowa... Temat wydaje się niewyczerpany.