Funkcja Cantora.

Funkcja Minkowskiego.

Innymi słowy, okazuje się, że w twierdzeniu Newtona–Leibniza, orzekającym, że jeśli funkcja  jest ciągła na  i ma (powiedzmy ciągłą) pochodną w  to mamy

(1)

nie wolno opuścić założenia, iż pochodna istnieje w każdym punkcie  Nawet jeśli zbiór  tych punktów, gdzie  nie istnieje, jest bardzo mały – ma miarę Lebesgue’a równą zero, tzn., intuicyjnie mówiąc, zerową długość – to może się okazać, że funkcja  ciągła na  i różniczkowalna w  nie spełnia równości (1). Przykłady takich funkcji można znaleźć we wspomnianym artykule; na marginesie naszkicowane są wykresy dwóch: funkcji Cantora i Minkowskiego. Ta druga jest ciągła i  ściśle rosnąca na  lecz jej pochodna nie ma ochoty być (choćby tu i ówdzie) dodatnia, tylko znika prawie wszędzie. Jest prawie wszędzie taka, jaka powinna być pochodna funkcji stałej, tylko że funkcja Minkowskiego stała, niestety, nie jest.

Kogoś, kto na studiach uczył się podstaw teorii miary i całki Lebesgue’a i wysłuchiwał, że zachowanie funkcji na zbiorze miary zero nie wpływa na wartość całki, takie przykłady z początku zwykle dziwią i lekko niepokoją. Nie ma jednak w nich żadnej sprzeczności. Po prostu, jeśli dobra, stara, klasycznie rozumiana pochodna nie  wszędzie istnieje, to (czasem) nie koduje już informacji o przyrostach funkcji.

Można się z tym pogodzić i np. szukać coraz subtelniejszych, przeczących intuicji przykładów tego, że w twierdzeniu Newtona–Leibniza słówko prawie jest zakazane. Najważniejszą rzeczą, którą chciałbym Czytelnikowi powiedzieć, jest jednak to, że kontrprzykłady, choć ważne, są mimo wszystko drugorzędne, o ile nie służą dalszej budowie matematyki, tworzeniu takich dodatków do jej gmachu, które pozwalają – być może za pomocą zupełnie nowych pojęć, narzędzi i środków – robić coś, czego dotąd nie potrafiliśmy, albo wręcz uważaliśmy za niemożliwe. Nie chodzi wszak o to, żeby wszystko było zawsze po staremu.

Prawdziwie twórcze pytania, jakie stawiało sobie wielu matematyków między rokiem 1890 a 1940, gdy narodziły się i dojrzały teoria miary z analizą funkcjonalną, brzmią następująco:

Okazuje się, że można to zrobić na kilka różnych, choć zasadniczo równoważnych sposobów. Zacznijmy od takiego, który dla funkcji jednej zmiennej jest naturalną drogą do uprawomocnienia wzoru Newtona–Leibniza (1) dla odpowiednio zawężonej klasy funkcji ciągłych, różniczkowalnych prawie wszędzie. Ustalmy przedział  i funkcję całkowalną  która za chwilę odegra rolę pochodnej innej funkcji. Niech

(2)

liczbę  można wybrać dowolnie, a prawą stronę wzoru traktujemy jako definicję  Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja  jest ciągła. To wynika z równości  a o ile całkujemy po dostatecznie krótkim przedziale, to całka z funkcji całkowalnej jest mniejsza niż dowolnie ustalony dodatni margines błędu, z upodobaniem oznaczany literką  Subtelniejszą, ale wykonalną rzeczą jest wykazanie, że  ma pochodną  prawie wszędzie w  i w dodatku  jest równa  też prawie wszędzie w

Te funkcje ciągłe, które otrzymuje się ze wzoru (2), zmieniając funkcję całkowalną  na wszelkie możliwe sposoby, nazywają się absolutnie ciągłymi. To dla nich (i tylko dla nich) wzór Newtona–Leibniza ma sens; można się nie obawiać, czy  istnieje wszędzie, czy tylko prawie wszędzie. Pozostałe funkcje ciągłe określa się mianem osobliwych. Słusznie; ich miejsce jest w gabinecie osobliwości.

Równoważna definicja funkcji absolutnie ciągłych, nieco trudniejsza do przełknięcia, ale lepiej poddająca się uogólnieniom na funkcje wielu zmiennych, jest następująca. Przypuśćmy, że  jest funkcją całkowalną na przedziale  Powiemy, że  ma w  słabą pochodną równą  jeśli po pierwsze  też jest całkowalna na przedziale  po drugie zaś wzór

(3)

zachodzi dla każdej funkcji  która ma ciągłą pochodną i spełnia warunek

Cóż właściwie ma oznaczać taka, na pozór zupełnie niesprawdzalna, definicja? Proszę myśleć o tym tak: gdyby  miała ciągłą pochodną  to dla każdej funkcji  o której mowa, mielibyśmy  a ponadto  gdyż funkcja  ma z założenia znikać na końcach rozważanego przedziału. Zatem, na mocy wzoru Newtona–Leibniza, całka z funkcji  powinna być zerem, a właśnie to jest przecież treścią wzoru (3). Mówiąc nieco inaczej, (3) to wzór na całkowanie przez części, przemyślnie wbudowany w nową definicję pojęcia pochodnej.

Co więcej, wzór (3) może zachodzić tylko dla jednej funkcji – gdyby zachodził dla  i  to odejmując dwie równości stronami, otrzymalibyśmy  dla każdej  spełniającej podane wcześniej warunki. Można wykazać – jest to tak zwany lemat du Bois-Reymonda – że wtedy mamy  prawie wszędzie. Dlatego słaba pochodna jest określona jednoznacznie, a jeśli przypadkiem  jest ciągła i ma ciągłą pochodną określoną klasycznie, to obie pochodne są równe (prawie wszędzie, rzecz jasna).

Można wykazać, że funkcja  jest absolutnie ciągła, tzn. jest całką  daną wzorem (2), wtedy i tylko wtedy, gdy  jest całkowalna i ma całkowalną słabą pochodną. Obie drogi wyboru rodziny funkcji, dla których (na każdym odcinku) zachodzi wzór Newtona–Leibniza, wiodą zatem do tego samego celu.

Po cóż komu takie pojęcia? Dlaczego studiować paskudne funkcje wielu zmiennych, których dziwacznie określone słabe pochodne są zaledwie funkcjami całkowalnymi, więc mogą np. okazać się nieciągłe w bardzo wielu punktach? Odpowiedzi, że przestrzenie takich funkcji – tzw. przestrzenie Sobolewa – są same w sobie ciekawymi obiektami badań, nie kupi wszak ani fizyk, ani niejeden matematyk. Prawdziwy sens i powód rozważania takich funkcji przynosi jednak teoria równań różniczkowych i jej pogranicze z fizyką oraz geometrią.

Dlaczego? Otóż, przestrzenie Sobolewa są dużo obszerniejsze od przestrzeni  funkcji różniczkowalnych -krotnie w sposób ciągły. Pierwszym odruchem kogoś, kto próbuje dowodzić istnienia rozwiązań równań różniczkowych, jest ograniczanie się właśnie do swojskich i znanych funkcji klasy  Postępując tak, wiążemy sobie ręce: częścią dowodu istnienia musi być dowód ciągłości pochodnych. Interpretując równanie w ogólniejszym języku przestrzeni Sobolewa, otrzymujemy – po pierwsze – więcej kandydatur na rozwiązania, po drugie zaś oddzielamy samą kwestię istnienia rozwiązania od sprawdzania jego dodatkowych własności. Po trzecie, cała analiza funkcjonalna staje się skrzynią z narzędziami, których w tym obszerniejszym świecie można używać. Po czwarte, rozmaite zbiory funkcji, które w przestrzeniach  są niezwarte, rozległe tak, że aż wiatr w nich hula, potrafią stawać się małe i przytulne właśnie w przestrzeniach Sobolewa. Nabierają wtedy sensu proste argumenty w rodzaju każda funkcja ciągła  na zbiorze zwartym osiąga w pewnym punkcie swój kres dolny, często nieprzydatne, gdy  jest funkcjonałem na przestrzeni  wyposażonej w nazbyt wymagające pojęcie zbieżności. Po piąte wreszcie, bywa i tak, że nieliniowa natura problemu sama wymusza istnienie osobliwości rozwiązań. Defekty ciekłych kryształów, samoprzecięcia błon mydlanych... Wtedy przestrzenie, dopuszczające nieciągłe rozwiązania, są jak znalazł.

Pomysł, żeby znane pojęcie pochodnej zastąpić nowym, jest iście szatański. Stefan Hildebrandt porównywał go do mefistofelesowskiego wprowadzania papierowych pieniędzy zamiast złota. Papierowy oraz plastikowy pieniądz, którego nośnik wart jest niewiele, ma jednak zalety; wygodniej go nosić i przesyłać niż wory monet. Wygodniej dowodzić, że się go ma. Kto zechce, może w bankomacie wymienić plastik na papier; kto się uprze, dokona wymiany na złoto. Współczesna teoria równań różniczkowych zna odpowiednik tego postępowania: używając misternie splecionej sieci różnych nierówności, dowodzi się, że słabe rozwiązania wielu równań są w istocie pięknymi, klasycznymi rozwiązaniami klasy

Bez pojęcia słabej pochodnej i masy jego konsekwencji cała armia moich starszych i młodszych kolegów po fachu byłaby częściowo bezrobotna. Nie byłoby też sporej części analizy funkcjonalnej i harmonicznej ani współczesnego matematycznego opisu chemotaksji, wirów w nadprzewodnikach, przejść fazowych, ruchu cieczy lepkich, dyfuzji w ośrodkach porowatych itp.

Warto więc w funkcjach Cantora i Minkowskiego, oraz im podobnych, widzieć nie tyle osobliwe kontrprzykłady, ale przede wszystkim drogowskazy, które pewnie były niewyraźne, ale, jak ze stuletniej perspektywy jasno widać, matematyków klasy Poincarégo, Hilberta, Weyla czy Sobolewa kierowały we właściwą stronę.