Przykładem jest chociażby funkcja  dla której wszystko psuje się w zerze, w którym pochodna nie istnieje. Okazuje się jednak, że można tak osłabić pojęcie różniczkowalności, że wyżej wspomniana funkcja będzie już różniczkowalna w tym nowym sensie. Wystarczy w tym celu wziąć pod uwagę tzw. różniczkowalność prawie wszędzie. Cóż to oznacza? Pojęcie prawie wszędzie (będziemy też pisać p.w.) jest krótszym określeniem na sformułowanie „wszędzie poza zbiorem (jednowymiarowej) miary Lebesgue’a zero”. Wymyślona na początku XX wieku przez Henri Lebesgue’a koncepcja miary, nazwanej później jego nazwiskiem, jest niczym innym jak uogólnieniem pojęcia długości przedziału. Dzięki tej mierze można jednak mierzyć dodatkowo „długości” wielu innych zbiorów zawartych w prostej. Można np. zmierzyć „długość” punktu (jego miara to zero), zbioru liczb naturalnych w  (miara tego zbioru jest również równa zeru) lub „długość” zbioru liczb niewymiernych w  (miara w tym przypadku wynosi jeden). Intuicyjnie czujemy, że jeżeli miara Lebesgue’a jakiegoś zbioru wynosi  to musi on być „bardzo mały”. I choć dopuszczenie do sytuacji, że funkcja nie musi być różniczkowalna na takim „małym” zbiorze, wpłynie z pewnością na jej zachowanie i własności, to czy skutkiem tego może być radykalna zmiana faktów znanych nam z klasycznej analizy matematycznej?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, na początku odnotujmy następujące twierdzenie.

Rys. 1

Czy to twierdzenie pozostanie prawdziwe, gdy w miejsce słowa „wszędzie” wstawimy „prawie wszędzie”? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że tak. Oczywiście, można z łatwością podać (patrz rysunek 1) przykład niemalejącej funkcji różniczkowalnej prawie wszędzie o pochodnej równej zeru, która nie jest stała, ale tę monotoniczność uzyskaliśmy za cenę nieciągłości funkcji. Czy jednak mimo wszystko mogą istnieć różne od stałej CIĄGŁE funkcje różniczkowalne p.w. o pochodnej równej zeru, które są, powiedzmy, niemalejące? I choć intuicja podpowiada, że takich obiektów matematycznych nie ma, to jak powiedział brytyjski matematyk Edward Titchmarsh „być może najbardziej zaskakujące w matematyce jest to, że jest tak zaskakująca”. Tak, są takie funkcje! Jedną z nich jest funkcja Cantora (zwana też funkcją Cantora–Lebesgue’a), pochodząca z 1883 roku. Do jej zdefiniowania będzie nam potrzebny tzw. zbiór Cantora. Przypomnijmy jego konstrukcję.

Zaczynamy od odcinka  Dzielimy go na trzy podprzedziały równej długości i środkowy z nich, otwarty, oznaczamy przez  W kolejnym kroku pozostałe dwa przedziały również dzielimy na trzy podprzedziały każdy i środkowe z nich, otwarte, oznaczamy przez  oraz  W kolejnych krokach powtarzamy tę procedurę, tzn. po -tym kroku otrzymujemy  przedziałów otwartych    o długości  każdy. Zbiór Cantora określamy wówczas jako zbiór  postaci

gdzie

Zbiór Cantora ma intrygujące własności. Przede wszystkim jest przykładem domkniętego zbioru nieprzeliczalnego miary Lebesgue’a zero. Co więcej, należą do niego tylko i wyłącznie te liczby z przedziału  które da się przedstawić w systemie trójkowym bez użycia

Oznaczmy teraz

Dla dowolnego naturalnego  zdefiniujmy funkcję  następująco:

(  oznacza domknięcie zbioru ), natomiast w domknięciach przedziałów dopełniających zbiór  do przedziału  określmy funkcję  jako ciągłą i liniową, tak aby w całym przedziale  funkcja  była ciągła. Funkcja  będzie więc niemalejąca i ciągła w  Co istotne, można wykazać, że ciąg funkcyjny  jest jednostajnie zbieżny, a więc jego granica  istnieje i jest funkcją ciągłą. Granicę tę nazywamy właśnie funkcją Cantora. Jest ona niemalejąca (bo wszystkie  są niemalejące) oraz stała w każdym z przedziałów  Stąd wynika od razu, że poza zbiorem Cantora funkcja  ma pochodną równą

Rys. 2 Funkcja Cantora

Rys. 3 Funkcja Minkowskiego

Widzimy więc, że istnieje funkcja ciągła, która jest określona na przedziale długości  i której pochodna na zbiorze miary  jest równa  a mimo to nie jest funkcją stałą. Co więcej, przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy  i ! Zaiste, dziwna jest ta funkcja. Zresztą czasami nazywa się ją również, ze względu na nieskończoną ilość „schodków” (czyli tych fragmentów jej wykresu, na których jest stała), „diabelskimi schodami”, co także podkreśla jej nieoczekiwane własności. Z drugiej strony jednak, skoro istnieje taka funkcja jak funkcja Cantora, to może warto zapytać, czy istnieje określona w przedziale  ŚCIŚLE monotoniczna funkcja CIĄGŁA, która prawie wszędzie w  będzie miała pochodną równą 0? I tu, co zaskakujące, odpowiedź jest twierdząca! W literaturze znanych jest wiele funkcji o tej własności (np. funkcje Riesza–Nagy’a), jednak tutaj podamy przykład chyba najsłynniejszej wśród nich, a mianowicie funkcji Minkowskiego  która po raz pierwszy na kartach historii matematyki pojawia się w 1904 roku. Można ją określić na wiele sposobów. My do tego celu wykorzystamy ułamki łańcuchowe. Przypomnijmy, że każdą liczbę rzeczywistą  można przedstawić w postaci

(przedstawienie to w skrócie można zapisać również jako ), gdzie    dla  Co istotne, każda liczba niewymierna ma dokładnie jedno takie przedstawienie (w postaci nieskończonego ułamka łańcuchowego), dowolną zaś liczbę wymierną można zapisać w dwóch postaciach: krótszej  gdzie  lub dłuższej  Oznaczmy  Wówczas na przedziale  funkcja Minkowskiego (zwana po angielsku question mark) zdefiniowana jest następująco:

Wykazanie, że  ma wymagane przez nas własności, czyli ciągłość, ścisłą monotoniczność, pochodną prawie wszędzie równą  jest o wiele trudniejsze niż w przypadku funkcji Cantora. Niemniej jednak fakt istnienia takiej funkcji pozwala nam sformułować następujące twierdzenie.

Jak widać, zmiana jakościowa między twierdzeniami 1 i 2 jest znaczna. Zatem także w matematyce prawie potrafi zrobić wielką różnicę...