Delta mi!

Każdą liczbę zapiszmy w postaci gdzie jest nieparzyste. Wówczas może przyjąć wartość – łącznie  różnych wartości. W takim razie, wśród dowolnych liczb znajdą się takie dwie, które mają ten sam czynnik nieparzysty, spełniają więc warunek zadania.

Przypuśćmy, że i przyjmijmy Wtedy a więc liczby oraz mają wspólny dzielnik Zatem liczba jest także dzielnikiem liczby

oraz liczby

Uzyskaliśmy sprzeczność, ponieważ liczby i  są względnie pierwsze: każdy dzielnik pierwszy liczby jest także dzielnikiem liczby a więc nie może być dzielnikiem liczby Wobec tego

Łatwo sprawdzić, że wartość wyrażenia może dać przy dzieleniu przez 7 wszystkie reszty z wyjątkiem 2 oraz 4. Potęgi dwójki dają jedynie reszty 1, 2, 4. Rozważane równanie może więc być spełnione tylko wtedy, gdy ; to zaś ma miejsce jedynie dla wykładników  podzielnych przez 3.

Jeśli więc równanie jest spełnione, to jest sześcianem liczby całkowitej. Dla liczb całkowitych wartość leży pomiędzy a  , więc nie jest sześcianem. Dla wartość jest ujemna. Dla dostajemy równanie sprzeczne . Pozostaje wartość , która wraz z  daje jedyne rozwiązanie równania.

Zapiszmy rozważane równanie w postaci . Liczby  i  są nieparzyste i różnią się o  . Jeżeli jest wspólnym dzielnikiem liczb i  , to  dzieli także różnicę tych liczb. Liczba  (poza liczbami  i  ) ma tylko parzyste dzielniki i dlatego liczby  i  są względnie pierwsze. Wnioskujemy stąd, że i  , gdzie są liczbami nieparzystymi. Z definicji liczb  i  wiemy, że . Zauważmy, że liczba nie może być równa  , ponieważ liczba jest nieparzysta. Pozostał do rozważenia przypadek . Wtedy , co prowadzi do równości . Jedyne pary liczb całkowitych , gdzie , spełniające tę równość, to oraz . W obu przypadkach i otrzymujemy sprzeczność, która kończy rozwiązanie zadania.

Załóżmy, że liczba jest całkowita. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że . Liczba  jest pierwsza, więc musi być dzielnikiem jednej z liczb , , . Gdyby liczba była podzielna przez  , to przez  podzielna byłaby również liczba  , co nie jest możliwe. Podobnie, gdyby liczba była podzielna przez  , to przez  podzielna byłaby również liczba  , co też nie jest możliwe. Wobec tego i w konsekwencji mamy

Zatem liczba – jako liczba całkowita – musi być równa  . Stąd uzyskujemy , co z kolei implikuje równość (w przeciwnym razie liczba , jako suma dwóch liczb nieparzystych, byłaby liczbą parzystą większą od  , czyli złożoną). Wobec tego oraz .

Dany w treści zadania ułamek redukuje się zatem do postaci

Liczba ta jest całkowita tylko wtedy, gdy , ale wtedy . Otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że liczby  i  są różne. Tak więc nie istnieją liczby ,  ,  spełniające warunki zadania.

Określamy parę ciągów wzorami:

(1)

Wówczas oraz

co pokazuje, że jest ciągiem danym w zadaniu. Ze wzorów (1) dostajemy równość

a ponieważ wynika stąd, że

Określamy parę ciągów wzorami:

(2)

Wówczas oraz

co pokazuje, że jest ciągiem danym w zadaniu. Ze wzorów (1) dostajemy równość

a ponieważ wynika stąd, że

Ustalmy  Widać, że jest liczbą nieparzystą. Niech będzie jej dowolnym dzielnikiem pierwszym. Dostajemy zależność

Po podniesieniu do potęgi  (i skorzystaniu z małego twierdzenia Fermata: ),

(3)

Za chwilę wykażemy, że

(4)

Równość (mod  ) prawych stron (2) i (3) oznacza, że

Dla parzystego warunek (4) mówi, że lub dla pewnego  ; zatem lub Każdy dzielnik pierwszy liczby  ma więc taką postać. Dowolny dzielnik dodatni (jako iloczyn pewnej liczby dzielników pierwszych) wtedy też jest tej postaci.

Dla nieparzystego warunek (4) implikuje lub czyli lub I znów, dowolny iloczyn takich liczb też jest liczbą tej postaci. W obu przypadkach liczby postaci nie mogą być dzielnikami liczby 

Pozostaje udowodnić wzór (3). Przyjmijmy (dla ustalonego  ) oznaczenia:

Iloczyn  liczy czynników. Łączymy je z czynnikami iloczynu  w pary o sumie (czyli  ). Otrzymujemy związek (mod  ). Stąd

Wystarczy teraz podzielić przez czynnik (względnie pierwszy z ), by uzyskać wzór (3) i zakończyć rozwiązanie.

Jeśli wśród kolejnych liczb całkowitych jest liczba podzielna przez  , to iloczyn liczb w jednym podzbiorze jest podzielny przez  , a iloczyn w drugim nie jest podzielny przez  . Możemy więc przyjąć, że wśród kolejnych liczb całkowitych nie ma liczby podzielnej przez 

Oznaczmy przez  iloczyn liczb w jednym podzbiorze, a przez  iloczyn liczb w drugim i przyjmijmy, że . Wówczas, na mocy twierdzenia Wilsona,

Ponieważ liczba  jest nieparzysta, więc

Z drugiej strony, na mocy małego twierdzenia Fermata wiemy, że . Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że

Szukamy liczb całkowitych dodatnich oraz liczby pierwszej  , dla których

Dla powyższe równanie sprowadza się do , co spełnione być nie może. Przyjmijmy więc bez straty ogólności, że oraz . Wtedy oraz , skąd wniosek, że oraz . A zatem Wobec tego lub .

W przypadku, gdy , otrzymujemy równanie . Bezpośrednio sprawdzamy, że równanie to nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich  .

Z kolei z podzielności wynika, że jest dzielnikiem jednej z liczb  lub  , co po wykorzystaniu podzielności pozwala wywnioskować, że liczba  jest dzielnikiem obu liczb . Wobec tego , , gdzie liczby są całkowite i dodatnie. Dane równanie przybiera wtedy postać

A ponieważ , więc oraz . Z ostatniej równości dostajemy: . Stąd , oraz

Bezpośrednie sprawdzenie dowodzi, że para spełnia warunki zadania.

Wystarczy znaleźć ciągi dodatnich liczb wymiernych o podanych własnościach; mnożąc ich wyrazy przez wspólny mianownik dostaniemy ciągi liczb naturalnych, o jakie chodzi.

Ustalmy . Funkcja ma w punkcie pochodną równą  , więc jej iloraz różnicowy jest mniejszy od  dla bliskich  :

Weźmy dowolną liczbę wymierną , mniejszą od liczb . Wówczas

Przyjmijmy teraz

Tak określone ciągi i  spełniają postulowane warunki: zachodzą nierówności ; zaś zależności dla , czyli , to nierówność Bernoulliego.

Zauważmy, że jeśli liczba  jest żądanej postaci, to także liczba   jest tej postaci. Ponadto

Stąd wynika, że każda z liczb da się przedstawić w żądanej postaci.

Wykażemy teraz, że nie istnieją liczby całkowite dodatnie , , ,  , dla których

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że , wówczas . Podstawiając , , otrzymujemy zależność

Stąd wynika, że . Z kolei dla nie istnieje liczba całkowita dodatnia  spełniająca zależność  . A zatem .Wówczas liczby  i  dają resztę  z dzielenia przez  . Stąd obie strony zależności  dają różne reszty z dzielenia przez  . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że liczby  nie da się przedstawić w żądanej postaci.

Taka -cyfrowa liczba istnieje, np.

Wiadomo, że -cyfrowa liczba jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest podzielna przez . Stąd wynika, że liczba jest podzielna przez

Wykażemy teraz, że każda inna liczba otrzymana z poprzez permutaję jej cyfr nie jest podzielna przez

Ponieważ wśród cyfr liczby jest dokładnie dwójek i jedynek, więc liczba jest nieparzysta. Ponadto . Stąd wynika, że liczba jest podzielna przez wtedy i tylko wtedy, gdy To jednak jest możliwe jedynie wtedy, gdy