Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Klub 44M - zadania V 2017»Zadanie 742

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania V 2017
Publikacja w Delcie: maj 2017
Publikacja elektroniczna: 1 maja 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (82 KB)
Zadanie 742 zaproponował pan Tomasz Ordowski.

Niech $|p$ będzie liczbą pierwszą postaci $p = 4k+ 1.$ Dowieść, że istnieje liczba całkowita dodatnia $s,$ mniejsza od $p,$ dla której różnica $√ ---2 |sp − ⌊ sp⌋$ jest kwadratem liczby całkowitej dodatniej.

Rozwiązanie

Uwaga

Zapewne innymi metodami także można uzyskać tezę zadania, niekoniecznie wzmocnioną do orzeczenia "... jest kwadratem jedynki". Pan Tomasz Ordowski, który zadanie zaproponował, zwrócił uwagę na ciąg o wyrazach

√ --- a(n) = min{s ∈Z s > 0,∃m∈Z ∖ {0} sn −⌊ sn⌋2 = m2},

obecny w OEIS (oeis.org/A245474). Nie jest trudno wykazać, że dla liczb pierwszych postaci $| p = 4k + 3$ zachodzi równość $| a(p) = p$ ; natomiast dla liczb pierwszych $p = 4k +1$ zachodzi nierówność $|a(p) < p,$ i to była treść naszego zadania; autorem podanego dowodu jest Robert Israel. (Dla liczb złożonych ciąg zachowuje się dość kapryśnie).