Załóżmy, że dodatnie liczby całkowite spełniają podane równanie. Oznaczmy przez ich największy wspólny dzielnik; tak więc gdzie to liczby naturalne względnie pierwsze. Wstawiając to do równania i dzieląc stronami przez otrzymujemy

(1)

Niech będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby Wobec związku (1) jest też dzielnikiem sumy To znaczy, że (mod ); a skoro jest liczbą parzystą, mamy stąd (mod ), i dalej

Liczba nie dzieli się przez (bo zaś są względnie pierwsze); zatem

Skoro nie ma innych dzielników pierwszych, znaczy to, że

(2)

Zatem liczby i (względnie pierwsze) są obie nieparzyste; stąd (mod 4), bo jest liczbą parzystą. W równości (2) mamy więc skąd Wracamy do równania (1): To pokazuje, że (dla pewnego ); przy tym czyli : liczba dzieli się przez

Na odwrót, załóżmy, że dla pewnego Wówczas para jest rozwiązaniem zadanego równania:

Uzyskaliśmy żądaną równoważność.