Zadanie

Zadania w Delcie

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Trzy rodzaje indukcji matematycznej»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trzy rodzaje indukcji matematycznej
Publikacja w Delcie: lipiec 2019
Publikacja elektroniczna: 1 lipca 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (410 KB)

Niech $|n$ będzie liczbą naturalną. Udowodnić przez indukcję, że:
(a) $n n n |3 + 4 < 5$ dla $n ⩾ 3,$ (b) $n 12 7 + 6n −1.$

Wskazówka

(a) Założenie indukcyjne $3n + 4n < 5n$ należy obustronnie pomnożyć przez 5. Otrzymamy wtedy nierówność, z której łatwo wydedukować tezę indukcyjną:

3n+1 + 4n+1 < 5n+1.

(b) Z założenia indukcyjnego $12 7n + 6n− 1$ wynika, że $7n = 12a − 6n + 1$ dla pewnego $a ∈ N.$ Mamy udowodnić, że $12$ jest dzielnikiem liczby

7n+1− 6(n +1) −1 = 7 ⋅7n− 6(n + 1)− 1.