Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Ciągi liczbowe , Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Całkowita dyskrecja»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Całkowita dyskrecja
Publikacja w Delcie: styczeń 2019
Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2018
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (419 KB)

Ciąg $(a ) n$ liczb naturalnych spełnia warunki $a = 3a − 1 2n n$ i $|a = 3a + 1 2n+1 n$ dla wszystkich naturalnych $n.$ Dowieść, że jest to ciąg rosnący.

Wskazówka

Dość łatwo wykazać, że $a > a . 2 1$ Załóżmy indukcyjnie, przy ustalonym $|n⩾ 2,$ że $a1 < a2 < ... < an.$ Trzeba dowieść, że $|an+1 > an.$ Należy tu rozważyć dwa przypadki: $n = 2t$ oraz $n = 2t+ 1$ dla pewnego całkowitego dodatniego $t.$ Pierwszy przypadek jest natychmiastowy i nie wymaga nawet skorzystania z założenia indukcyjnego. W drugim korzystamy z nierówności $|at+1 > at,$ którą zapiszemy w postaci $|at+1⩾ at +1.$