Delta mi!

Rozważmy wszystkie liczby siedmiocyfrowe, w których każda z cyfr występuje dokładnie raz. Udowodnić, że żadna z tych liczb nie jest dzielnikiem innej.

Spośród liczb siedmiocyfrowych określonych w poprzednim zadaniu wybierzmy trzy, niekoniecznie różne. Czy ich suma może być kwadratem liczby naturalnej?

W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej nie występuje żadna z cyfr 1, 2, 9. Udowodnić, że w zapisie dziesiętnym liczby występuje co najmniej jedna z tych cyfr.

W zapisie dziesiętnym liczby jest dziewięć cyfr, każda inna. Wiedząc to, bez obliczania wyznaczyć cyfrę, która w tej liczbie nie występuje.

Dowieść, że nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego naturalnego

Wykazać, że dla liczb całkowitych dodatnich i zachodzi nierówność

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie które spełniają równość

Wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość wyrażenia dla całkowitych dodatnich

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba naturalna mniejsza od iloczynu swoich cyfr w zapisie dziesiętnym.

Dla pewnego całkowitego dodatniego liczby i mają taką samą pierwszą cyfrę. Wykazać, że tą cyfrą jest 3.

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych dla których

Niech będzie liczbą pierwszą większą od 2. Udowodnić, że istnieje dokładnie jeden sposób przedstawienia w postaci sumy gdzie

Dane są liczby całkowite przy czym jest liczbą parzystą. Udowodnić, że równanie

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez .

Dane są liczby naturalne przy czym jest liczbą nieparzystą, większą niż Udowodnić, że liczba

jest podzielna przez

Na tablicy początkowo napisana została liczba Jeśli na tablicy napisana jest co najmniej jedna z liczb to można dopisać każdą z pozostałych. Rozstrzygnąć, czy każda dodatnia liczba całkowita może w pewnym momencie pojawić się na tablicy.

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby całkowite że jest kwadratem liczby całkowitej.

Liczba trzycyfrowa, w której jest cyfrą setek, - cyfrą dziesiątek, a - cyfrą jedności, jest pierwsza. Dowieść, że nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązać równania

gdzie oznacza funkcję Eulera.

Wykazać, że równanie

ma co najmniej jedno rozwiązanie.

oznacza funkcję Eulera.

Rozważamy równanie

(*)

gdzie jest funkcją Eulera, a jest daną liczbą pierwszą. Wykazać, że równanie (*):

a)

ma co najmniej jedno rozwiązanie,

b)

ma skończoną liczbę rozwiązań,

c)

może mieć dowolnie wiele rozwiązań (w zależności od ).

Wyznaczyć największą liczbę naturalną, która jest wspólnym dzielnikiem liczb oraz dla pewnej liczby naturalnej

Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele czwórek różnych liczb naturalnych o tej własności, że każdy z iloczynów jest o 1 większy od kwadratu pewnej liczby naturalnej.

Czy w wyrażeniu można zamienić niektóre znaki " " na " " w ten sposób, by wynik był równy

Na tablicy napisano trzycyfrowych liczb pierwszych. Możemy zmazać dwie zapisane na tablicy liczby i zamiast nich zapisać wartość bezwzględną ich różnicy. Postępujemy tak aż do momentu, gdy na tablicy pozostanie jedna liczba. Czy tą liczbą może być

Każdą liczbę naturalną pomalowano pewnym kolorem w taki sposób, że jeśli są liczbami naturalnymi, to liczby i mają ten sam kolor. Dowieść, że wszystkie liczby naturalne większe od mają ten sam kolor.

Niech będzie liczbą naturalną. Udowodnić przez indukcję, że:
(a) dla (b)

Udowodnić nierówność Bernoulliego: dla wszystkich liczb rzeczywistych i liczb naturalnych

Wiadomo, że oraz dla Wykazać, że dla wszystkich naturalnych

Udowodnić małe twierdzenie Fermata: dla każdej liczby pierwszej i liczby naturalnej

Niech będzie liczbą naturalną. Dowieść, że istnieje -cyfrowa wielokrotność liczby w której zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry i