Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze, Liczby rzeczywiste, Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Trójmian kwadratowy»Zadanie 10

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy
Publikacja w Delcie: październik 2019
Publikacja elektroniczna: 30 września 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)

Liczba trzycyfrowa, w której $a$ jest cyfrą setek, $b$ - cyfrą dziesiątek, a $c$ - cyfrą jedności, jest pierwsza. Dowieść, że $2 b − 4ac$ nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Wskazówka

Przypuśćmy, że $2 2 |b − 4ac = d$ dla pewnej liczby naturalnej $d.$ Niech $|p = 100a + 10b + c = f (10),$ gdzie $f(x) = ax2 +bx + c.$ Korzystając z postaci iloczynowej, otrzymamy po przekształceniach

4ap = (20a + b +d)(20a +b − d).

Liczba $|p$ jest pierwsza, więc dzieli co najmniej jedną z liczb: $20a + b − d$ lub $|20a+ b + d.$ Tu mamy sprzeczność, bo są to liczby dodatnie mniejsze od $|p.$