Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Zera zmienią jednostkę w miliony»Zadanie 11

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zera zmienią jednostkę w miliony
Publikacja w Delcie: kwiecień 2020
Publikacja elektroniczna: 1 kwietnia 2020
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (395 KB)

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $n,$ dla których $n+1 n S(3 )⩽ S(3 ).$

Wskazówka

Przypuśćmy, że nierówność $|S(3n+1) ⩽ S(3n)$ zachodzi tylko dla skończenie wielu $n.$ Wtedy istnieje takie $, N$ że dla wszystkich $|n⩾ N$ mamy $|S(3n+1) ⩾ S(3n)+ 9.$ Stąd dla wszystkich $|n$ zachodzi nierówność $S(3n) ⩾ 9n −c,$ gdzie $|c$ jest pewną stałą. Z drugiej strony, $|3n < 10n~2,$ więc liczba $|3n$ ma co najwyżej $n/2 +1$ cyfr.