Delta mi!

gdzie  Stąd otrzymujemy:

Sznurek ma minimalną prędkość przejścia wtedy, gdy środek masy części sznurka o długości  i masie  zostaje podniesiony na wysokość :

Stąd

Gdy funkcja wielu zmiennych osiąga maksimum, jest to także jej maksimum jako funkcji każdej ze zmiennych oddzielnie (gdy pozostałe zmienne uważamy za stałe). Rozważmy więc trzy kule o numerach  oraz  Z zasad zachowania energii i pędu oraz warunku zerowej prędkości początkowej kul  i   wyprowadzamy standardowe wzory

Należy wyznaczyć maksimum ostatniego wyrażenia ze względu na zmienną  Nietrudno sprawdzić, że jest ono osiągane dla  tzn. masy powinny tworzyć ciąg geometryczny. Ilorazem tego ciągu jest  natomiast prędkości tworzą ciąg o ilorazie   Zatem

Dopiero na dalszych miejscach po przecinku wynik różni się od  m/s. Energia kinetyczna ostatniej kuli jest więc prawie dokładnie równa początkowej energii kinetycznej (po zderzeniach z kulą poprzednią i następną każda z kul pozostaje prawie nieruchoma).

Przechył krążka o kąt  oznacza podniesienie jego środka o   a zatem podniesienie środka masy ciężarków o tę samą wielkość. Łączna energia potencjalna ciężarków wzrośnie o

gdzie  jest masą jednego ciężarka. Prędkość ciężarków  wystarczy wyznaczyć w pierwszym rzędzie względem prędkości kątowej krążka  ponieważ do energii kinetycznej wchodzi ona w kwadracie. Ze względu na długość nici ruch ciężarków odbywa się wzdłuż osi pionowej i widzimy, że w tym przybliżeniu

Z warunku  znajdujemy

Poślizg nie nastąpi, gdy będzie

Obrót zaś nastąpi, jeśli

przy czym ramię siły ciężkości wynosi  a ramię siły  jest równe

Z powyższych nierówności wynika, że

Jeśli pionowe siły działające na kulkę równoważą się, mamy

gdzie jest siłą nacisku deski na kulkę. Warunkiem równoważenia się momentów sił działających na zawias łączący deski jest

gdzie jest długością desek. Stąd:

Rozważmy niewielki fragment linki napięty siłą  i wygięty o kąt  Wypadkowa dwóch sił  jest równoważona przez siłę reakcji podpory  zatem maksymalna siła tarcia (będąca przyrostem siły napięcia) jest równa

gdzie  jest współczynnikiem tarcia. Sumując (całkując) przyrosty  stwierdzamy, że przy ustalonym  i ustalonej sile napięcia na jednym końcu linki wartość  na drugim końcu zależy tylko od kąta między stycznymi do końców linki, czyli dla wszystkich przypadków a–d jest ona jednakowa.

Niech  będzie zmienną wzdłuż pręta, od  (koniec zamocowany) do  (koniec zwisający). Funkcjami zmiennej  są: siła oddziaływania jednej części na drugą  (czyli ciężar prawej części pręta), moment zginający pręt  oraz kąt odchylenia stycznej od poziomu  Oczywiste jest, że  natomiast rozważając mały odcinek pręta o długości  stwierdzamy, że warunek równowagi ze względu na obrót ma postać

Pominęliśmy tu „wyrazy drugiego rzędu”, tzn. zaniedbaliśmy ciężar tego odcinka oraz różnicę między wartościami  na jego końcach. Dalej, różnica między kątami nachylenia sąsiednich odcinków zależy od  zgodnie ze wzorem

Zbierając zapisane równania, dochodzimy w granicy  do równania różniczkowego

które po wprowadzeniu zmiennej bezwymiarowej  przybiera postać

Równanie to trzeba scałkować od  (gdzie ) do  (gdzie ), przy czym stała  ma wartość 10. Zgodnie z treścią zadania obliczyć należy  oraz sumę przesunięć pionowych  Autor stosował procedurę numeryczną, zaczynając od  i wybierając dowolną początkową wartość  a następnie korygując ją tak, aby w punkcie  otrzymać  Okazuje się, że właściwą początkową wartością  jest 3,74, końcowy kąt nachylenia jest równy  rad, a zwis

Oznaczmy siłę napięcia nici przez  promień krążków przez  a masę przez  Równanie ruchu obrotowego ma dla każdego z krążków jednakową postać

gdzie  jest momentem bezwładności, a – przyspieszeniem kątowym, jednakowym – jak widać – dla obu krążków. Iloczyn  jest przyspieszeniem pionowego odcinka nici, a także przyspieszeniem dolnego krążka względem tego odcinka. Zatem przyspieszenie  dolnego krążka względem układu nieruchomego jest równe

Stąd  Po podstawieniu tego wyrażenia do równania ruchu postępowego dolnego krążka

otrzymujemy rozwiązanie:

Oznaczmy dane (wg kolejności w treści zadania) jako Jeśli od wysłania dźwięku do jego dotarcia do krowy upływa czas  to droga dźwięku wynosi , a droga lokomotywy – Z odpowiedniego rysunku wynika równanie

którego rozwiązanie zapiszemy tylko w postaci liczbowej:  s. Rzut prędkości lokomotywy na kierunek „do krowy” miał w chwili wysłania dźwięku wartość

co po podstawieniu do wzoru na efekt Dopplera daje wynik

W przypadku (a) składowa okrężna (prostopadła do promienia) prędkości kulki wynikała tylko z obrotu płytki i w chwili stoczenia się z płytki wynosiła  Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu

W przypadkach (b) i (c) prędkość kulki w chwili stoczenia nie jest wprost powiązana z Oznaczmy ją zauważmy też, że składowa radialna prędkości wtedy nie występuje. Można więc skorzystać zarówno z zasady zachowania momentu pędu, jak i z zasady zachowania energii:

Równania te mają dwa rozwiązania: banalne rozwiązanie (wtedy ), oraz „niebanalne”

Rozwiązanie „banalne” odpowiada przypadkowi (b), a „niebanalne” – przypadkowi (c).

Wprowadźmy kąt przechyłu pręta jako  , a połowę długości pręta oznaczmy dla wygody jako  . W pierwszym rzędzie względem  oraz względem stosunku  odległości końców pręta od środka Ziemi wynoszą oraz (gdzie jest promieniem Ziemi), a siły działające na końce są równe

gdzie  – masa Ziemi,  – przyspieszenie ziemskie. W tym samym przybliżeniu nietrudno również wyznaczyć kąty między kierunkami tych sił a osią pręta. Są one równe i  , a stąd momenty sił  i  wynoszą

Wypadkowy moment siły jest równy

i widać, że jego zwrot sprzyja powrotowi do położenia pionowego, zatem wystąpią drgania. Kwadrat częstości drgań  jest równy ilorazowi współczynnika stojącego przed  w powyższym wzorze przez moment bezwładności :

Zauważmy, że otrzymany wynik nie zależy ani od masy pręta, ani od jego długości, a zatem obowiązuje on dla ,,wiązki” składającej się z dowolnej liczby takich prętów – czyli dla pręta o dowolnym symetrycznym rozkładzie masy (w szczególności jednorodnego). Wartością liczbową okresu jest

Kawałki balonika wyrzucone pod kątem  do poziomu spadną w odległości

od balonika. Znajdą się one na zewnątrz koła o promieniu  , jeśli

Stosunek masy strzępków wylatujących na odległość większą niż  do masy całkowitej balonika jest równy stosunkowi powierzchni  pasa na powierzchni wybuchającego balonika, leżącego między kątami

do całkowitej powierzchni balonika  . Oznaczając przez  promień balonika, otrzymujemy:

Zatem

Prędkość piłeczki jest największa w chwili zderzenia ze ścianką. Prędkość ta jest prostopadła do ścianki, z którą piłeczka się zderza. Z symetrii problemu mamy, że:

Prędkość piłeczki będzie najmniejsza w chwili, gdy osiągnie ona największą wysokość, tzn. gdy będzie ona miała kierunek poziomy:

Wartość strumienia indukcji magnetycznej wytworzonego przez zwojnicę jest dana wzorem

Zgodnie z równaniem Maxwella pochodna  po czasie równa jest krążeniu pola elektrycznego. Wybieramy kontur będący okręgiem o średnicy  i wyznaczamy siłę  działającą na każdą z kulek

Prędkość  uzyskana przez kulki jest równa całce z  po czasie, podzielonej przez masę. Stąd znajdujemy szukaną prędkość kątową  :

Przyjmijmy , , Aby ocenić wartość  załóżmy, że kulkę o promieniu ładujemy napięciem (z maszyny elektrostatycznej). Wynikiem jest i ostatecznie . Jak widać, efektu pobudzenia ruchu pręta nie da się zaobserwować w tych warunkach.

Rozpatrujemy ruch wagonu w układzie inercjalnym, w którym drugi wózek pozostawał nieruchomy aż do jego wejścia w zakręt. Wprowadźmy oznaczenia:  – prędkość wagonu, – jego masa,  – promień łuku. Ruch wagonu po wejściu pierwszego wózka w zakręt jest obrotem wokół osi przechodzącej przez drugi wózek, z przyspieszeniem kątowym równym

gdzie jest przyspieszeniem dośrodkowym pierwszego wózka. To wyrażenie należy przyrównać do ilorazu momentu siły (której ramieniem jest odcinek ) przez moment bezwładności względem osi obrotu. Zgodnie z twierdzeniem Steinera

a dalej znajdujemy

Gdy oba wózki znalazły się na łuku, prędkość kątowa wagonu pozostawała stała, a siła była równa połowie siły odśrodkowej

Z przyrównania znajdujemy

Oznaczmy przez  odległość wierzchołka stożka od dna naczynia. Mamy wtedy . Maksymalna siła wyporu działa, gdy poziom wody sięga podstawy stożka. Stąd:

Wstawiając do powyższego równania zależność między  i  otrzymujemy:

Parcie wody powoduje, że na klocek, prostopadle do powierzchni styczności z wodą, działa siła

Klin będzie w równowadze, jeśli

stąd

zatem klocek będzie się poruszał, jeśli