Delta mi!

Nić nie ulega zerwaniu, gdy ciężarek wisi na niej w stanie równowagi, zatem spełniony jest warunek: . Oznaczmy przez wydłużenie nici w stanie równowagi, mamy wtedy związki:

gdzie jest współczynnikiem sprężystości nici. Dodatkowe wydłużenie w momencie rozerwania nici wynosi

---

Musimy rozważyć dwa przypadki:

(1)

Gdy na ciężarek cały czas działa siła sprężystości i aż do momentu zerwania nici porusza się on ruchem harmonicznym. Najmniejsza wysokość, na jaką musimy go podnieść, wynosi

(2)

Gdy możemy skorzystać z zasady zachowania energii:

Ostatecznie szukana wysokość dana jest wzorem

Przyjmijmy, że obserwator O związany z Ziemią i obserwator związany z pojazdem zsynchronizowali swoje zegary, gdy znajdowali się w tym samym miejscu i tę chwilę uznali za zerową. Zdarzeniem początkowym jest odbicie sygnału radarowego wysłanego z Ziemi od pojazdu któremu obserwator O przypisuje współrzędną czasową oraz współrzędną przestrzenną W układzie statku to samo zdarzenie zachodzi w chwili w miejscu o współrzędnej przestrzennej zgodnie z transformacją Lorentza.

Zdarzenie końcowe - statek dogania - zachodzi w układzie Ziemi w miejscu o współrzędnej stąd chwila zdarzenia wynosi W układzie statku miejsce zdarzenia ma współrzędną i zachodzi w chwili

W układzie Ziemi statek dogoni po czasie

W układzie statku szukany czas wynosi

Ten sam wynik możemy otrzymać ze wzoru gdzie a jest prędkością statku względem

Dopóki kulki się stykają, środek masy układu porusza się po okręgu o środku w punkcie i promieniu Siła dośrodkowa spełnia równanie

gdzie jest prędkością środka masy, i siłami reakcji ze strony podłoża i ściany, jest kątem, jaki tworzy wektor położenia środka masy zaczepiony w punkcie z poziomem. Oznaczając przez wartość siły oddziaływania między kulkami, możemy zapisać związki Gdy kulki przestają się stykać, w położeniu opisanym kątem mamy

(1)

Oznaczmy prędkości kulek dolnej i górnej w chwili utraty kontaktu odpowiednio przez i Z definicji środka masy mamy

zatem

Ponieważ nie ma tarcia, spełniona jest zasada zachowania energii mechanicznej

Uwzględniając (1), otrzymujemy:

Szukana prędkość dolnej kulki w chwili utraty kontaktu z górną dana jest wzorem

Każda kropla, wpadając do naczynia, powiększa jego ładunek o Ładunek ten rozkłada się równomiernie na powierzchni sfery i wytwarza wokół niej pole elektryczne, które jest takie jak pole pochodzące od ładunku punktowego, równego ładunkowi sfery, umieszczonego w jej środku. Na spadającą kroplę działają więc dwie siły: przyspieszająca ruch kropli siła ciężkości i opóźniająca ten ruch siła elektrostatyczna. Przyjmijmy, że do naczynia wpadło kropli, a więc jego ładunek wynosi Kropla już do naczynia nie wpadnie, jeżeli jej prędkość na wysokości otworu w naczyniu będzie równa zeru.

Prędkość tę znajdziemy, obliczając energię kinetyczną, jaką ma na wysokości kropla spadająca z wysokości Będzie ona równa zmianie jej energii potencjalnej, na którą składa się energia pochodząca od pola grawitacyjnego i od pola elektrycznego przy spadku z wysokości do wysokości :

Mamy więc

a stąd

Z warunku dostajemy

a to oznacza, że ostatnia kropla, która wpadnie do naczynia, ma numer będący największą liczbą całkowitą spełniającą warunek:

Każda kulka spadająca z wysokości przy sprężystym zderzeniu z tłokiem przekazuje mu pęd Następuje to raz w ciągu czasu pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami, który jest równy sumie czasu wznoszenia i spadania kulki: gdzie g to przyspieszenie ziemskie. Stąd znajdujemy średnią wartość siły oddziaływania jednej kulki na tłok w ciągu czasu równą

Dla średniej siły oddziaływania kulek na tłok znajdujemy

(Zauważmy, że wielkość tej siły, równa całkowitemu ciężarowi kulek, nie zależy od wysokości, na jaką one podskakują, co wynika ze sprężystego charakteru zderzeń z tłokiem).

Ciśnienie gazu pod tłokiem znajdujemy jako sumę ciśnień:

Oznaczmy prędkość środka masy pręta w chwili końcowej przez a prędkość kątową ruchu obrotowego wokół środka masy przez Ruch pręta możemy też traktować jako czysty obrót wokół chwilowej osi obrotu z taką samą prędkością kątową Prędkość punktu w chwili końcowej jest styczna do walca, a prędkość punktu ma kierunek poziomy. Punkt przez który przechodzi chwilowa oś obrotu, leży na przecięciu prostopadłych do prędkości i Z podobieństwa trójkątów prostokątnych na rysunku otrzymujemy, że długość odcinka wynosi Z twierdzenia Pitagorasa długość odcinka jest równa Wynika stąd, że związek między prędkością środka masy i prędkością ruchu obrotowego dany jest wzorem Ponieważ nie ma oporów ruchu, zachowana jest energia mechaniczna pręta

(1)

gdzie jest masą pręta, jego momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek. Wysokości środka masy nad powierzchnią poziomą w chwilach początkowej i końcowej wynoszą odpowiednio i Podstawiając to do równania (1), otrzymujemy prędkość kątową

Szukana wartość prędkości punktu dana jest wzorem

W czasie przez przekrój wirnika przechodzi strumień powietrza. Wirnik przekazuje więc mu pęd w jednostce czasu, więc siła nośna wynosi

Śmigłowiec zwisa w polu grawitacyjnym Ziemi, więc Z kolei energia kinetyczna powietrza popychanego w jednostce czasu wynosi

Silnik musi więc dostarczać co najmniej tyle energii w jednostce czasu, a więc

a po podstawieniu poprzednio wyprowadzonych zależności

Niech oznacza chwilową masę rakiety, a masę wyrzucaną w krótkim czasie Pęd rakiety zmienia się w tym czasie o

Jednocześnie za rufą pojawia się gazów o prędkości Z zasady zachowania pędu musi więc zajść

a stąd

Wielkość ta rośnie wraz z ubytkiem masy rakiety.

Zasadę zachowania energii rozpatrujemy w podobny sposób: zmiana energii kinetycznej rakiety w to

Energia kinetyczna wyrzuconych w tym czasie gazów to

Wobec tego

Łącząc oba wyrażenia dostajemy, że

co jest wielkością stałą podczas ruchu rakiety.

Oznaczmy promień obracającego się okręgu przez Rozważmy mały element tego okręgu o długości Jego masa to gdzie Na wydzielony element na jego końcach działają dwie siły naprężenia skierowane stycznie do okręgu. Ich wypadkowa nadaje rozważanemu elementowi przyspieszenie dośrodkowe Równanie ruchu tego elementu ma postać

Siła naprężenia kabla dana jest wzorem Uwzględniając, że kąt jest mały, czyli

otrzymujemy szukany promień obracającego się okręgu:

Jeżeli górna nić zachowuje przez cały czas kierunek pionowy, to wszystkie siły zewnętrzne działające na układ, czyli siła ciężkości i siła naciągu górnej nici, są pionowe. Wynika stąd, że środek masy układu nie przemieszcza się w kierunku poziomym, a kulki w każdej chwili poruszają się w kierunkach przeciwnych. Stosunek ich przyspieszeń w kierunku poziomym wynosi Oznaczmy szukaną długość dolnej nici przez a odległość dolnej kulki od środka masy przez Z rysunku widać, że Z porównania wzorów na stosunki przyspieszeń otrzymujemy Ponieważ amplituda drgań punktu jest mała, przemieszczenia środka masy układu w kierunku pionowym również są małe i dolna kulka zachowuje się w przybliżeniu jak wahadło matematyczne o długości zawieszone w nieruchomym punkcie Częstość drgań tego wahadła jest taka sama jak częstość drgań punktu i wynosi Stąd dolna nić ma długość

Ponieważ prędkość psa ma stałą wartość, jego przyspieszenie jest prostopadłe do wektora prędkości i ma wartość gdzie jest promieniem krzywizny toru w danym miejscu. W bardzo krótkim czasie wektor prędkości psa obraca się o kąt dany wzorem W tym samym czasie lis przebywa drogę gdyż wektor prędkości psa skierowany jest cały czas na lisa. Stąd Szukana wartość przyspieszenia wynosi

Strumień mocy promieniowania cieplnego pochodzącego od Słońca w odległości od jego środka wynosi: Dla uproszczenia dalszych obliczeń przyjmijmy, że możemy pominąć kątowe rozmiary Słońca. Wówczas ciało o promieniu absorbuje moc i, po osiągnięciu temperatury równowagi tę samą moc emituje. Mamy więc Meteoroid pozostaje w stanie stałym, gdy Oznacza to, że odległość od Słońca stałych meteoroidów żelaznych musi spełniać warunek:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy Nasze oszacowanie jest zaniżone, gdyż w tak małej odległości od Słońca poprawka wynikająca z faktu, że jest ono źródłem rozciągłym jest już dość znaczna - rozmiary kątowe Słońca "widziane" przez meteoroid wynoszą bowiem wówczas około

Maksymalna prędkość z jaką odłamki skalne mogą poruszać się po orbitach okołosłonecznych nie przekracza prędkości ucieczki od przyciągania Słońca. Prędkość ucieczki w odległości równej odległości Ziemia-Słońce jest równa gdzie to prędkość, z jaką Ziemia obiega Słońce ( Maksymalna prędkość meteoroid-Ziemia wynosi więc Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy

Na wahadło odchylone od pionu działają trzy siły: siła ciężkości zaczepiona w środku kulki oraz siły reakcji i tarcia w punkcie styczności osi z wewnętrzną powierzchnią rurki. Suma momentów tych sił względem dowolnego punktu wynosi zero, zatem proste, wzdłuż których działają siły, muszą się przecinać w jednym punkcie. Wynika stąd, że punkt leży na przecięciu prostej pionowej, przechodzącej przez środek masy kulki z wewnętrzną powierzchnią rurki. Gdy środek kulki przemieszczony jest w prawo lub w lewo na odległość większą niż promień równowaga jest niemożliwa. Gdy kąt odchylenia wahadła od pionu jest maksymalny, tarcie statyczne osiąga największą możliwą wartość Ponieważ w stanie równowagi wypadkowa sił tarcia i reakcji skierowana jest pionowo w górę, zachodzi związek Odcinek na rysunku możemy wyrazić przez kąty i wzorem stąd

Wartość kąta granicznego nie zależy od masy kulki. Dla stan równowagi możliwy jest tylko dla pionowego położenia wahadła. Gdy i wtedy maksymalne odchylenie kulki w prawo dąży do Gdy występuje tarcie w osi, wahadło może znaleźć się w równowadze także w położeniu odwróconym, kiedy kulka znajduje się powyżej osi.

Ponieważ tarcie między walcami jest zaniedbywalne, prędkość kątowa ruchu obrotowego pierwszego walca nie zmienia się w wyniku zderzenia. Z zasad zachowania pędu i energii (zderzenie sprężyste) wynika, że po zderzeniu prędkość ruchu postępowego pierwszego walca wynosi zero, a drugiego Po zderzeniu na pierwszy walec działa siła tarcia skierowana do przodu. Jego prędkość ruchu postępowego rośnie liniowo z czasem: prędkość kątowa ruchu obrotowego maleje liniowo z czasem: Po czasie gdy spełniony jest związek rozpoczyna się toczenie bez poślizgu. Stąd Na drugi walec działa siła tarcia skierowana do tyłu. Jego prędkość ruchu postępowego maleje liniowo z czasem, prędkość ruchu obrotowego rośnie liniowo z czasem. Po czasie drugi walec również zaczyna toczyć się bez poślizgu. Od chwili prędkości ruchu postępowego obu walców wynoszą Drogi przebyte przez walce w czasie wynoszą odpowiednio i Maksymalna odległość, na jaką się oddalą, jest równa

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że tor lotu żaby powinien być styczny do rury w jej najwyższym punkcie. Rozważmy jednak tor symetryczny względem osi pionowej przechodzącej przez środek rury i styczny do niej w dwóch punktach. Niech prędkość żaby w punkcie styczności tworzy z poziomem kąt Z równań ruchu dla rzutu ukośnego otrzymujemy związek Zasada zachowania energii ma postać

gdzie jest prędkością żaby w chwili odbicia. Aby znaleźć jej wartość minimalną, musimy odpowiedzieć na pytanie, dla jakiego kąta funkcja

ma minimum. W tym celu wystarczy obliczyć jej pochodną i przyrównać ją do zera. Możemy też skorzystać z nierówności i wynikającej z niej Widzimy, że energia jest minimalna, gdy Szukana minimalna prędkość żaby wynosi Dla kąta gdy tor żaby styka się w najwyższym punkcie z rurą,

Dopóki kula nie traci kontaktu z uskokiem, działa na nią siła ciężkości oraz siła reakcji podłoża Ponieważ nie ma tarcia, siła reakcji skierowana jest wzdłuż promienia kuli. Obie siły mają zerowy moment względem środka kuli, zatem kula porusza się ruchem postępowym. Środek masy kuli porusza się po okręgu o promieniu a jego równanie ruchu ma postać:

W momencie, w którym kula odrywa się od uskoku, siła reakcji znika: Z zasady zachowania energii mamy W chwili oderwania kąt jaki tworzy prędkość kuli z poziomem, dany jest wzorem wartość prędkości wynosi a dolny punkt kuli znajduje się na wysokości nad ziemią. Po oderwaniu środek masy kuli porusza się w kierunku poziomym ze stałą prędkością w kierunku pionowym spada w polu ciężkości z prędkością początkową i osiąga prędkość po czasie Szukana odległość dana jest wzorem

Gdy sprężyna odchylona jest od poziomu o kąt a jej długość wynosi siły działające na ciężarek w kierunku poziomym i pionowym mają postać

Ruch ciężarka jest złożeniem ruchów harmonicznych

Uwzględniając warunki początkowe: otrzymujemy

Tor ciężarka

jest linią prostą. Minimalna długość sprężyny dana jest wzorem

Podczas rozpędzania motocyklista musi optymalnie wykorzystać siłę tarcia. Oznaczmy przez kąt między prędkością i maksymalną siłą tarcia w pewnej chwili podczas rozpędzania. Równania ruchu motocyklisty w kierunku stycznym i prostopadłym do toru mają postać: oraz Różniczkując względem czasu drugie równanie i uwzględniając pierwsze, otrzymujemy:

Prędkość kątowa motocyklisty w rozważanej chwili dana jest wzorem stąd W chwili początkowej i zatem Gdy motocyklista osiąga maksymalną prędkość, co odpowiada okręgu.

W celu obliczenia energii kinetycznej elektronu, niezależnie od tego, czy mamy do czynienia z przypadkiem relatywistycznym, czy nie relatywistycznym, musimy znać jego masę spoczynkową i prędkość albo pęd. Aby znaleźć pęd elektronu, zapiszmy II zasadę dynamiki dla ruchu elektronu w polu magnetycznym. Ponieważ przy ruchu elektronu w polu magnetycznym działająca na niego siła Lorentza jest prostopadła do wektora prędkości wartość prędkości nie zmienia się i dla rozważanego przypadku można równanie ruchu napisać w postaci Stąd pęd jest równy Należy teraz rozstrzygnąć, czy w rozpatrywanym przypadku elektron należy traktować jako cząstkę relatywistyczną, od tego bowiem zależy relacja pomiędzy i Podstawiając wartości do wzoru na pęd, dostajemy Dla elektronu Nie zachodzi więc relacja co pozwoliłoby stosować "zwykłe", nierelatywistyczne wzory. Używając wzoru relatywistycznego

gdzie dostajemy .

W układzie środka masy prędkości kulki i ramki odpowiednio i spełniają związki: , , gdzie jest prędkością względną. Stąd

Energia w układzie środka masy wynosi

Na układ nie działają z zewnątrz w kierunku poziomym żadne siły, zatem środek masy porusza się ze stałą prędkością i jego energia kinetyczna nie zmienia się. Zderzenia są sprężyste, więc nie zmienia się również energia w układzie środka masy, prędkość względna kulki i ramki pozostaje stała i równa prędkości początkowej kulki Szukany czas między dwoma kolejnymi zderzeniami wynosi

Gdy kamień osiąga maksymalną wysokość, jego przyspieszenie jest prostopadłe do toru i jest przyspieszeniem dośrodkowym: gdzie jest promieniem krzywizny toru w rozważanym punkcie. Promień krzywizny toru w odpowiadającym punkcie na rysunku wynosi Przyspieszenie żuczka jest prostopadłe do toru (bo jego wartość prędkości jest stała) i wynosi

Prędkość spadającej piłeczki w momencie uderzenia w nieruchomą rakietkę wynosi gdzie to przyspieszenie ziemskie. Po odbiciu piłeczka uzyskuje prędkość Niech teraz rakietka w momencie odbicia piłeczki porusza się ku górze z prędkością W układzie współrzędnych, związanym z rakietką, piłeczka ma w momencie zderzenia prędkość Po zderzeniu jej prędkość w tym układzie odniesienia wyniesie czyli w nieruchomym układzie odniesienia będzie miała prędkość Ponieważ po podbiciu piłeczka ma się wznieść na taką wysokość, z jakiej spadła, to musi być spełniona zależność a stąd

Ciągła linia na rysunku oznacza położenie równowagi - sprężyna jest ściśnięta o Dolna płytka oderwie się od podłoża, gdy siła powodująca dodatkowe ściśnięcie sprężyny o będzie większa od ciężaru układu, czyli spełniony będzie warunek W chwili oderwania sprężyna będzie wydłużona o Prędkość górnej płytki w chwili oderwania dolnej znajdujemy z zasady zachowania energii:

Stąd

Prędkość środka masy układu w momencie oderwania to Po oderwaniu środek masy porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym i wznosi się na wysokość

Wysokość, na jaką wzniesie się środek masy układu od chwili rozpoczęcia ruchu, wynosi Jeśli dolna płytka pozostaje w spoczynku, a górna porusza się ruchem harmonicznym wokół położenia równowagi z amplitudą czyli wznosi się na maksymalną wysokość Zatem odpowiedź na postawione pytanie jest następująca: maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się środek masy układu, dana jest wzorem:

Granica możliwej do osiągnięcia dokładności pomiaru położenia wynika z zasady nieoznaczoności Heisenberga: gdzie i to odpowiednio dokładność pomiaru współrzędnej i pędu w kierunku a Js jest stałą Plancka podzieloną przez

Długość fali de Broglie'a cząstki o pędzie wynosi Mamy więc

Dla cząstki swobodnej energia kinetyczna to gdzie oznacza masę cząstki. Stąd w przybliżeniu mamy

Ostatecznie otrzymujemy

Klocek ruszy z miejsca, gdy rozciągnięcie sprężyny osiągnie wartość i przyjmijmy tę chwilę za początkową. W układzie odniesienia związanym ze swobodnym końcem sprężyny klocek zacznie oddalać się ruchem harmonicznym od położenia równowagi ( na rysunku), gdzie wydłużenie sprężyny wynosi W chwili początkowej prędkość klocka wynosi a jego odległość od położenia równowagi jest równa

Z zasady zachowania energii maksymalna odległość klocka od położenia równowagi wynosi

W tym położeniu prędkość klocka względem podłoża osiągnie wartość Ruch klocka do chwili, gdy oddali się na maksymalną odległość opisuje wzór gdzie Z warunku początkowego otrzymujemy przesunięcie fazowe Czas po którym odległość od położenia równowagi osiągnie wartość dostajemy ze wzoru Odległość klocka od położenia początkowego w układzie związanym z końcem sprężyny równa jest Szukana droga przebyta przez klocek w układzie związanym z podłożem wynosi

Kulka może trafić do krawędzi po jednym lub większej liczbie odbić od dna i towarzyszących im ewentualnie odbiciach od ścianek studni. Jeżeli nastąpiło odbić od dna, to kulka znajdzie się na wysokości od dna studni po czasie

W tym momencie kulka powinna się znaleźć przy prawej ściance studni. Oznacza to, że droga, przebyta przez nią w kierunku poziomym gdzie jest liczbą uderzeń kulki o pionowe ścianki studni. Stąd otrzymujemy, że prędkość kulki w punkcie powinna być równa:

Podzielmy pierścień na małe odcinki, takie że Na każdy odcinek działają siły naciągu pierścienia i reakcji walca Ich suma jest równa zero, bo pierścień nie obraca się. Stąd

co dla małych daje Stąd możemy obliczyć siłę tarcia, działającą na taki odcinek, przy przesuwaniu pierścienia wzdłuż walca:

Sumując siły tarcia, działające na wszystkie małe odcinki pierścienia, na które podzieliliśmy jego długość, otrzymujemy całkowitą siłę tarcia:

Równanie ruchu satelity po orbicie kołowej jest dane wzorem

(1)

gdzie - prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu - masa Ziemi, - jej promień. Załóżmy, że w ciągu krótkiego czasu promień orbity zmniejszył się o pod wpływem siły Z zasady zachowania energii mamy związek

(2)

Równanie ruchu satelity po orbicie o promieniu z prędkością ma postać

(3)

Znajdując prędkości i z zależności (1) i (3) i podstawiając je do zależności (2) otrzymujemy

Korzystając z tego, że oraz znajdujemy prędkość zniżania się satelity

Równanie ruchu klocka ma postać: gdzie jest przyspieszeniem klocka, a siłą naprężenia nici. W układzie związanym z klockiem ciężarek porusza się z przyspieszeniem wzdłuż prostej, która tworzy z pionem kąt pod działaniem sił przedstawionych na rysunku obok. Jego równanie ruchu ma postać:

Zachodzi związek: Rozwiązując przedstawione równania, otrzymujmy masę ciężarka: