Delta mi!

W płaszczyźnie poziomej nie działają na ciała żadne siły zewnętrzne, zatem środek masy układu wyznacza pewien inercjalny układ odniesienia. Wektory położenia ciał w układzie środka masy i spełniają związki: oraz Stąd

Analogiczny związek spełnia w CMS wektor prędkości ciała drugiego:

gdzie jest prędkością względną ciał. Szukane naprężenie nici dane jest wzorem:

gdzie

jest masą zredukowaną układu.

Ruch koralika jest złożeniem ruchu po okręgu o promieniu i ruchu w kierunku pionowym. Prędkość koralika w danej chwili można rozłożyć na składowe - poziomą i pionową gdzie jest kątem, jaki tworzy z poziomem styczna do spirali. Przyspieszenie koralika jest sumą wektorową składowej prostopadłej do toru, związanej z ruchem po okręgu, która wynosi

oraz składowej stycznej do toru Składową styczną można znaleźć, rozwijając myślowo zwój spirali na płaszczyźnie. Otrzymamy wtedy równię pochyłą nachyloną do poziomu pod kątem o podstawie i wysokości Składowa styczna do toru wynosi

Prędkość koralika po przebyciu zwojów otrzymujemy, korzystając z zasady energii mechanicznej: Szukana wartość przyspieszenia jest równa

To, że nić pozostaje cały czas pionowa, oznacza, że na masę podczas ruchu układu nie działa siła pozioma. To z kolei oznacza, że siły poziome nie działają także na układ, składający się z dwóch mas i a kulki muszą poruszać się tak, aby ich środek masy nie poruszał się w poziomie (rysunek). Warunek ten będzie spełniony, gdy masa będzie się poruszała tak, jakby była zawieszona w środku masy układu na nici o długości gdzie jest odległością środka kulki od środka masy układu. Okres takiego wahadła wynosi Okres ten jest równy okresowi drgań punktu Korzystając z wyrażenia na położenie środka mas znajdujemy Podstawiając to wyrażenie do wzoru na okres dostajemy

a stąd

Częstotliwość fotonów emitowanych przez spoczywający atom wodoru i, podobnie, deuteru jest proporcjonalna do iloczynu masy zredukowanej układu elektron-jądro, Masa zredukowana układu elektron-jądro o masie wynosi

Wynika stąd, że wszystkie częstotliwości widma deuteru są razy większe od częstotliwości występujących w widmie wodoru:

Po podstawieniu wartości mas otrzymujemy a więc wartość bardzo bliską 1. Gdyby zinterpretować wzrost obserwowanych częstotliwości o czynnik jako skutek zjawiska Dopplera (postępowego ruchu atomu z prędkością ), to powinno być równe gdzie jest prędkością światła, i dla otrzymamy wartość /s, odpowiadającą ruchowi atomu wodoru w kierunku obserwatora (taka prędkość średnia atomu wodoru odpowiada temperaturze ok. ).

Maksymalny moment siły, jaki może uzyskać rowerzysta, opierając cały ciężar ciała na korbie ustawionej poziomo, wynosi gdzie to masa rowerzysty, - długość korby. Moment siły, z jakim koło działa na podłoże, to a siła działająca na punkt styczności koła z podłożem

gdzie jest promieniem koła. Załóżmy, że koło toczy się bez poślizgu. Wtedy wartość siły tarcia statycznego jest równa Siła równoległa do zbocza, działająca na rowerzystę z rowerem, jest równa gdzie to kąt nachylenia zbocza. Z warunku równowagi sił po uproszczeniu dostajemy warunek

Wstawiając dane, otrzymujemy maksymalną wartość kąta Dla większych kątów, nawet opierając cały ciężar swojego ciała na pedale, rowerzysta wraz z rowerem będzie się staczał do tyłu. W sytuacji granicznej, kiedy moment siły, z jaką rowerzysta naciska na pedał, przeniesiony przez przekładnie na podłoże, dokładnie równoważy składową ciężaru układu styczną do zbocza, rower spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym. W tej sytuacji warunek na brak poślizgu jest taki sam, jak dla klocka umieszczonego na równi pochyłej: czyli dla danych w zadaniu i mamy

Jeżeli żądamy, aby koło toczyło się bez tarcia w całym zakresie kątów, to siła nie może przekroczyć maksymalnej siły tarcia statycznego równej

Po uproszczeniu warunek sprowadza się do

Oba otrzymane ograniczenia na współczynnik tarcia są rosnącymi funkcjami i są tożsame dla kąta Wystarczy zatem

Rakiety będą się poruszały po elipsach.
Punkt startu każdej z nich odpowiada minimalnej odległości od środka Ziemi, a punkt orbity leżący dokładnie nad punktem Ziemi po jej przeciwnej stronie stanowi apogeum orbity. W tych punktach prędkość rakiety jest prostopadła do prostej, poprowadzonej od orbity do środka Ziemi. Niech będzie dłuższą osią orbity. Maksymalna odległość między rakietami wynosi Okres obiegu orbity przez rakietę wynosi gdzie jest podanym w zadaniu okresem. Oznaczmy okres obiegu, gdyby rakieta poruszała się po orbicie kołowej o promieniu przez Zgodnie z III prawem Keplera

skąd

Ponieważ przyspieszenie dośrodkowe rakiety na orbicie wynosi to mamy

czyli

Stąd

czyli

Rysunek przedstawia siły działające na wiewiórkę. Są to: siła ciężkości siła reakcji i siła tarcia Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki na koło działa stycznie siła o wartości która nadaje mu przyspieszenie gdzie jest masą koła. Przyspieszenie koła ma być stałe, zatem również musi być stałe. Ponieważ przyspieszenie koła ma mieć maksymalną wartość, to oraz też jest stałe. W układzie odniesienia związanym z Ziemią wiewiórka porusza się po okręgu:

gdzie jest masą wiewiórki, jej prędkością, a promieniem okręgu. Siła reakcji może być stała w dwóch przypadkach: albo wiewiórka biegnie po okręgu tak, że jej kwadrat prędkości jest sumą funkcji proporcjonalnej do i funkcji stałej, albo jest nieruchoma i W pierwszym przypadku dla i kwadrat prędkości osiąga odpowiednio najmniejszą i największą wartość. Wtedy składowa przyspieszenia wiewiórki styczna do okręgu wynosi 0, a zatem i siła tarcia równa jest zeru (siła ciężkości jest w tych położeniach skierowana wzdłuż promienia). Przypadek pierwszy należy więc odrzucić. Gdy wiewiórka nie porusza się względem Ziemi, zachodzi związek:

zatem Stąd mamy

Szukane przyspieszenie jest równe

Ponieważ na płytę nie działa żadna (niepominięta w modelu) pozioma siła zewnętrzna, to pozioma współrzędna położenia środka masy nie może się zmienić. Suwak znajdzie się dokładnie nad środkiem masy, gdy ruch płyty ustanie.

W chwili zwolnienia elektromagnesu wartość przyspieszenia suwaka (które jest skierowane poziomo) musi być taka sama jak wartość (skierowanego pionowo) przyspieszenia środka masy (dlaczego?). W takim razie chwilowym punktem obrotu jest punkt znajdujący się pod zawiasem na wysokości środka masy płyty. Moment bezwładności płyty względem tego punktu jest równy

Rozpatrując obrót wokół tego punktu, uzyskujemy warunek

natomiast rozpatrując obrót wokół środka masy mamy

Porównując te warunki, otrzymujemy

a z równania, opisującego ruch w kierunku pionowym mamy

wyznaczamy czyli również wartość początkowego przyspieszenia suwaka.

Przy rozwiązywaniu takiego zadania łatwo się pomylić, rozpatrując obrót wokół punktu, który jest poddany przyspieszeniu bez uwzględnienia siły bezwładności przyłożonej do środka masy. Siła taka nie wiąże się z dodatkowym momentem siły jedynie gdy rozpatrywanym punktem jest środek masy (co zostało wykorzystane w rozwiązaniu), lub punkt przyspiesza w kierunku środka masy. Łatwo zauważyć, że wszystkie punkty, dla których nie ma dodatkowego momentu siły, leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek miedzy chwilowym punktem obrotu a środkiem masy.

Z analizy wymiarowej wynika, że moment bezwładności kwadratu (jednorodnej kwadratowej płyty) o boku względem jego środka jest proporcjonalny do jego masy i kwadratu długości boku. Oznaczając stałą proporcjonalności przez otrzymujemy

Jest on jednocześnie równy sumarycznemu momentowi bezwładności czterech mniejszych kwadratów (na które ten większy można podzielić) względem ich stykających się rogów. Wykorzystując twierdzenie Steinera, otrzymujemy

gdzie jest odległością środków masy małych kwadratów do środka masy dużego. Przyrównując wzory na wyznaczamy

Moment bezwładności kwadratowej płyty względem jej rogu jest, oczywiście, równy

Płyta w chwili zwolnienia elektromagnesu zaczyna się obracać wokół zawiasu pod wpływem momentu siły gdzie jest ramieniem siły ciężkości (przyłożonej do środka masy) względem osi wyznaczonej przez zawias. Otrzymujemy warunek

skąd wyznaczamy przyspieszenie kątowe

Składowe pionowa i pozioma przyspieszenia środka masy są równe co do wartości (dlaczego?) i wynoszą

(jak to wykazać?). Z równania opisującego ruch w kierunku pionowym otrzymujemy warunek na składową pionową poszukiwanej siły czyli Natomiast z równania opisującego ruch w kierunku poziomym wyznaczamy składową poziomą (składowa ta jest skierowana przeciwnie do składowej poziomej wektora poprowadzonego od zawiasu do środka masy płyty).

Wprowadźmy współrzędne jak na rysunku obok. Niech żuk znajduje się w odległości od początku układu Siły działające na słomkę zaznaczono na rysunku kolorem. Są to siły reakcji i prostopadłe odpowiednio do podłogi i ścianki oraz siła jaką żuk działa na słomkę. Siłę ciężkości działającą na słomkę pomijamy zgodnie z treścią zadania. Słomka nie porusza się, więc siły działające na nią równoważą się: Na żuka działa siła ciężkości oraz siła reakcji słomki która tworzy ze słomką nieznany kąt (siły te zaznaczono na rysunku na czarno). Równanie ruchu żuka ma postać Przyspieszenie skierowane jest wzdłuż słomki. Stąd oraz Momenty sił działających na słomkę względem dowolnego punktu równoważą się. Względem punktu warunek ten ma postać: Siły działające na żuka prostopadle do słomki równoważą się: zatem gdzie

Wprowadzając nową zmienną otrzymujemy równanie

Jest to równanie oscylatora harmonicznego o częstości Ruch żuka opisuje funkcja z warunkami początkowymi: oraz Zatem Kładąc otrzymujemy czas podróży żuka do końca słomki:

Poruszanie się kulki "po ósemce" (szczególny przypadek krzywej Lissajous) jest możliwe, jeżeli jej częstość drgań w pionie jest dwa razy większa, niż jej częstość drgań w poziomie tzn.

Niech oznacza siłę naciągu sprężyn, a - ich współczynnik sprężystości, przy czym Przy wychyleniu kulki w poziomie na odległość gdzie będzie działała na nią pozioma siła zwrotna a w konsekwencji kwadrat częstości drgań w poziomie wyniesie Kwadrat częstości drgań w pionie jest dany wzorem ("wahadło sprężynowe"). Korzystając z warunku ruchu "po ósemce", mamy a więc czyli a stąd

Niech oznacza masę jednostki długości łańcuszka, a długość jego odcinka Oznaczmy przyspieszenie, z jakim porusza się w pewnej chwili czasu wisząca część łańcuszka, przez natomiast jej prędkość w tej samej chwili przez Równanie ruchu odcinka łańcuszka ma postać: równanie odcinka : gdzie i są siłami naprężenia łańcuszka odpowiednio w punktach i Stąd Rozważmy bardzo krótki przedział czasu W tym czasie unosi się ze stołu odcinek łańcuszka o masie Zmiana pędu tego odcinka stąd Ustalona prędkość łańcuszka, gdy wynosi

Oznaczmy przez szukaną odległość środka kuli od punktu W układzie inercjalnym w kierunku wzdłuż pręta działają na kulę: siła sprężystości oraz siła ze strony cieczy a ich wypadkowa jest siłą dośrodkową Aby wyznaczyć siłę rozważmy obracające się naczynie z samą cieczą, wyodrębnijmy w niej myślowo część znajdującą się w tym samym miejscu co kula i podzielmy ją na bardzo małe elementy o masach Siła ze strony pozostałej cieczy działająca na taki element w płaszczyźnie poziomej wynosi gdzie jest odległością elementu od osi obrotu. Niech pozioma oś prostokątnego układu współrzędnych ma początek na osi obrotu i przechodzi przez środek wydzielonej części cieczy, a oś skierowana jest wzdłuż osi obrotu, prostopadle do płaszczyzny rysunku. Rzut siły na oś wynosi Całkowita siła działająca w płaszczyźnie poziomej ze strony pozostałej cieczy na część wyróżnioną działa wzdłuż osi co wynika z symetrii problemu, skierowana jest do osi obrotu i ma wartość

gdzie jest odległością środka masy kuli od osi obrotu, a Siła zależy tylko od położenia, kształtu i objętości wyróżnionej części cieczy. Taka sama siła działa na dowolne ciało umieszczone w tym samym miejscu wewnątrz cieczy. Szukana odległość wynosi

Rozwiązanie jest poprawne, gdy W przeciwnym przypadku sprężyna jest zbyt słaba, aby utrzymać kulę wewnątrz cieczy, i kula w zależności od swojej gęstości przemieszcza się do jednego z końców pręta.

Zadanie najwygodniej rozwiązywać w układzie związanym z obracającą się tarczą. Siła tarcia równa gdzie jest masą pracownika, a przyspieszeniem ziemskim, musi być przez cały czas ruchu nie mniejsza od wartości wypadkowej sumy sił: odśrodkowej i Coriolisa. Siła odśrodkowa i siła Coriolisa są do siebie prostopadłe i co do wartości odpowiednio równe oraz Prędkość pracownika (zgodna z warunkami zadania) to

Stąd warunek powodzenia zamiaru pracownika to:

dla każdej odległości pracownika od środka tarczy. Ostatecznie:

Ponieważ nie ma poślizgu, prędkość deski względem ziemi jest taka sama jak punktów na powierzchni walców, które w danej chwili stykają się z deską. Niech będzie jednym z takich punktów. Jego prędkość względem ziemi jest złożeniem poziomej prędkości ruchu postępowego walca i prędkości ruchu obrotowego względem środka walca o tej samej wartości. Wektor prędkości deski względem ziemi tworzy z poziomem kąt Tarcie jest statyczne, możemy więc korzystać z zasady zachowania energii mechanicznej, zaniedbując zmianę energii kinetycznej walców:

gdzie jest masą deski a jej przesunięciem w kierunku pionowym. Droga przebyta przez deskę od chwili rozpoczęcia ruchu dana jest wzorem

Deska porusza się więc ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem

Energia potencjalna kulki dla maksymalnego wychylenia w lewo wynosi a w prawo Dla małych kątów i mamy: i Po pierwszym uderzeniu w powierzchnię kulka będzie miała energię kinetyczną i wychyli się o kąt odpowiadający sumie tej energii kinetycznej i energii potencjalnej odpowiadającej wychyleniu o kąt czyli Powtarzając to rozumowanie dla kolejnych uderzeń, dostajemy ogólne wyrażenie na wartość kąta po -tym uderzeniu: Zauważmy, że dla chyba że (zderzenie sprężyste), kiedy to dla dowolnego

Naprężenie wzdłuż nici jest stałe, bo nić i bloczki są nieważkie, zatem przyspieszenia względem ziemi klocków lewego i prawego wynoszą odpowiednio:

Oznaczmy przez wartości bezwzględne przyspieszeń względem ziemi poziomych odcinków nici, od najniższego do najwyższego. Mamy wtedy:

Przyspieszenie końca nici, do którego przyłożono siłę wynosi

Zegary spoczywają w zatem

gdzie jest odległością między sąsiednimi zegarami w układzie W czasie każdy z zegarów przebywa w tym układzie drogę Po upływie czasu wskazania tych samych zegarów w różnią się o stąd

W chwili współrzędna przestrzenna trzeciego zegara w układzie wynosi i zegar ten wskazuje czas Zgodnie z transformacją Lorentza:

Na podstawie wypisanych równań otrzymujemy:

Niech oznacza odległość, na jaką wsunął się na szorstką powierzchnię poruszający się klocek. Działa na niego siła tarcia gdzie Klocek będzie się poruszał ruchem harmonicznym do chwili, kiedy albo zatrzyma się, albo cały wjedzie na szorstką powierzchnię. Z zasady zachowania energii możemy wyznaczyć amplitudę drgań

Gdy czyli długość klocka jest nie mniejsza od amplitudy drgań, a stąd klocek zatrzyma się po czasie

gdzie jest okresem drgań.

Gdy klocek wjedzie na szorstką powierzchnię w czasie poruszając się ruchem harmonicznym, a następnie w czasie będzie poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym. Droga przebyta ruchem harmonicznym gdzie Prędkość jaką osiągnie klocek w chwili możemy otrzymać z zasady zachowania energii:

stąd Ruch jednostajnie opóźniony odbywać się będzie w czasie Klocek zatrzyma się po czasie

Stopnienie okołobiegunowych lądolodów oznacza zmianę rozkładu masy planety, a więc także jej całkowitego momentu bezwładności, a moment pędu związany z obrotem planety nie ulegnie przy tym zmianie. Początkowy moment bezwładności wynosi

gdzie pierwszy składnik to moment bezwładności kuli, a drugi - moment bezwładności obu czap lodowych - każdej o masie i kącie Po stopnieniu lodu woda pokryje całą powierzchnię planety - dla uproszczenia obliczeń przyjmijmy, że tworzy na niej warstwę o grubości niezależnej od szerokości geograficznej. Końcowy moment bezwładności planety wynosi więc

Kątowa prędkość obrotu zmieni się przy tym z na zgodnie z zasada zachowania momentu pędu: Ostatecznie otrzymujemy:

a po podstawieniu wartości liczbowych i skorzystaniu ze związku prędkości kątowej z okresem obrotu otrzymujemy, że doba zmieni się o

Podniesienie środka ciężkości człowieka o masie na wysokość wymaga wykonania pracy gdzie oznacza przyspieszenie spadku swobodnego na powierzchni Ziemi. Uwolnienie się od przyciągania planetoidy o masie i promieniu wymaga wykonania pracy równej energii "wiązania grawitacyjnego" gdzie oznacza stałą grawitacji. Biorąc pod uwagę, że oraz związek masy kuli z jej promieniem i gęstością otrzymujemy ostatecznie

co po podstawieniu podanych wartości i daje

Pominęliśmy tu ograniczenie ruchów przez kombinezon kosmonauty.

Każdy mały element kółka o promieniu   zrobionego ze sprężyny przy prędkości kątowej   porusza się z przyspieszeniem dośrodkowym  Jeśli przez  oznaczyć kąt pomiędzy promieniami łączącymi końce tego elementu z położeniem osi obrotu, to jego masę można zapisać jako  Siła dośrodkowa działająca na ten element wynosi  pochodzi od naciągu sprężyny

Stąd równanie ruchu dla elementu sprężyny ma postać

a stąd

Gdy  rośnie,  także rośnie, dążąc do wartości maksymalnej, którą osiąga dla krytycznej wartości prędkości kątowej

Sprężyna osiąga wówczas granicę sprężystości (rozprostowuje się), a przy odpowiednio dużej sile rozciągającej ulega zerwaniu.

Deska drga z przyspieszeniem o wartości gdzie jest okresem drgań, a zwrot wektora przyspieszenia zmienia się co pół okresu. W układzie związanym z deską na ciało działa wzdłuż deski składowa siły ciężkości siła bezwładności o zmiennym zwrocie oraz siła tarcia o wartości Ponieważ średnia prędkość ciała względem deski jest stała, musi ono przez pewną część okresu poruszać się w górę deski. Oznaczmy ten czas przez W czasie okresu pęd ciała nie ulega zmianie:

gdzie Stąd

Niech oznacza maksymalną prędkość klocka względem deski skierowaną w górę, a maksymalną prędkość skierowaną w dół. gdzie oraz Ponieważ deska drga z dużą częstotliwością Ustalona średnia prędkość ciała

Ponieważ spełniony jest warunek  oba klocki ruszają jednocześnie. Środek masy układu porusza się z przyspieszeniem  Dalej rozważać będziemy problem w układzie środka masy.

Masy klocków są jednakowe, zatem środek masy układu   znajduje się w połowie odległości między klockami, a ich ruch jest symetryczny względem środka masy. Możemy więc ograniczyć się do rozpatrzenia ruchu jednego z klocków. Wypadkowa siła, działająca na klocek pierwszy, wynosi

gdzie  jest odkształceniem sprężyny (  gdy sprężyna jest rozciągnięta). Gdy  czyli w stanie równowagi, wydłużenie sprężyny jest równe

Niech  oznacza współrzędną pierwszego klocka względem położenia równowagi 

Należy porównać kąt nachylenia deski  powyżej którego walec zacznie się zsuwać, i kąt  powyżej którego zacznie się toczyć. Pierwszy warunek ma postać

Niech  oznacza odległość środka masy wydrążonego walca od jego środka geometrycznego. Traktując walec pełny o masie  i promieniu  jako złożenie walca wydrążonego o masie  i walca o masie  promieniu  w miejscu wydrążenia, otrzymujemy związek  skąd  Gdy deskę powoli podnosimy, wydrążony walec obraca się, a jego środek masy przesuwa się po okręgu o promieniu (określamy położenie na prostej pionowej przechodzącej przez punkt styczności walca z deską). Moment siły ciężkości względem tego punktu jest wówczas równy 0. Kąt nachylenia deski, powyżej którego walec zacznie się staczać, określa warunek  Ponieważ  walec straci równowagę, gdy kąt nachylenia deski przekroczy  i walec zacznie się toczyć bez poślizgu

Wskazanie dynamometru to  gdzie  jest współczynnikiem sprężystości sprężyny, a   jej wydłużeniem. Gdy dynamometr jest nieruchomy, siła rozciągająca sprężynę jest taka sama wzdłuż całej sprężyny, a dowolne jednakowe odcinki sprężyny rozciągnięte są o taką samą wielkość. Gdy dynamometr porusza się z przyspieszeniem  gdzie  jest masą sprężyny, siła rozciągająca sprężynę w odległości   od jej końca przymocowanego do obudowy wynosi

czyli zmienia się liniowo od wartości  do   Podzielmy myślowo nierozciągniętą sprężynę na  jednakowych części na tyle małych, że po rozciągnięciu siłę sprężystości  wzdłuż każdej części możemy uznać za stałą. Współczynnik sprężystości każdej takiej części to  bo wydłużenie całej nieruchomej sprężyny jest  razy większe niż wydłużenie pojedynczej części:

Gdy dynamometr porusza się z przyspieszeniem   wydłużenie sprężyny wynosi  Ponieważ siła  jest liniową funkcją   jest sumą szeregu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz równy jest   a ostatni   równą 

Wskazanie poruszającego się z przyspieszeniem dynamometru wynosi:

Początkowo obręcz ślizga się po parkiecie. Jej ruch jest ruchem jednostajnie opóźnionym wskutek działania stałej siły tarcia skierowanej przeciwnie do kierunku ruchu, a jej ruch obrotowy także jest jednostajnie opóźniony wskutek działania stałego momentu siły tarcia Obręcz zatrzyma się zatem w ruchu postępowym po czasie

przebywszy w tym czasie drogę

a jej prędkość kątowa będzie wynosiła wówczas

Od tego momentu obręcz będzie poruszać się z przyspieszeniem wywołanym siłą tarcia, a ruch obrotowy będzie nadal spowalniał. Dla dostatecznie dużych prędkość punktu styczności obręczy z podłożem będzie różna od zera i obręcz wróci do baletnicy w czasie z prędkością kątową

prędkość punktu styczności z podłożem będzie wtedy równa Oznacza to, że szukany warunek to

Dla mniejszych wartości przy zerowaniu się prędkości punktu styczności z podłożem rozpocznie się ruch bez poślizgu; ruch ten będzie się odbywał ze stałą prędkością i warunek nie będzie spełniony.

Nachylenie drogi powoduje zmniejszenie siły nacisku opon na podłoże do wartości gdzie to masa samochodu, a przyspieszenie ziemskie. Maksymalna wartość siły tarcia wynosi więc Jednocześnie pojawia się siła zsuwająca przeciwdziałająca sile tarcia. Hamowanie (zmniejszenie prędkości) możliwe jest tylko, gdy Podczas hamowania od prędkości do zatrzymania samochód porusza się z opóźnieniem i przebywa drogę

a więc gdy

Po skorzystaniu ze znanych tożsamości trygonometrycznych nierówność tę można sprowadzić do postaci

Dla suchej nawierzchni i na nawierzchni mokrej (guma po betonie). Prowadzi to do warunków: na suchej nawierzchni i na nawierzchni mokrej.

Pręt porusza się do góry i w danej chwili ma prędkość   Ciecz wypierana przez górny koniec pręta przemieszcza się w dół i wypełnia miejsce zwolnione przez dolną część pręta. Pomijając niewielkie obszary w pobliżu końców pręta, można przyjąć, że prędkość cieczy   między prętem i ściankami rury jest wszędzie taka sama. Ponieważ ciecz jest nieściśliwa, mamy związek:

Energię kinetyczną poruszającej się cieczy o masie   możemy zapisać w postaci:

gdzie  jest objętością pręta. Zasada zachowania energii ma postać:

gdzie  jest wysokością, na jaką podniósł się pręt, gdy osiągnął prędkość

Jest to prędkość końcowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem

Pręt porusza się, jakby jego masa zwiększyła się o   Siła, z jaką poruszająca się ciecz działa na pręt, dana jest wzorem:

Ciężarek na końcu pręta porusza się po okręgu, a jego przyspieszenie ma składową dośrodkową  oraz składową styczną do toru  gdzie  jest chwilową prędkością ciężarka. Ciężarek popycha klocek, który porusza się z przyspieszeniem  W chwili utraty kontaktu ciężarka z klockiem  a składowa przyspieszenia ciężarka styczna do toru spowodowana jest tylko siłą ciężkości:  Prędkość ciężarka w tym momencie wynosi  a prędkość klocka

Z zasady zachowania energii otrzymujemy:

i stąd szukany stosunek mas wynosi