Delta mi!

Jeśli w nierówności, którą chcemy uzasadnić, występują długości boków pewnego trójkąta, często przydaje się podstawienie Raviego: gdzie Takie liczby zawsze istnieją, są to bowiem długości odcinków stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt.

Euklides w Elementach pisał: "... kwadrat jest tym, co równoboczne i prostokątne...". Oto kilka niebanalnych obserwacji, w których kwadrat jest jednym z bohaterów.

W wielu zadaniach należy uzasadnić, że pewne trzy proste przecinają się w jednym punkcie. Często można wykazać, że wszystkie one są symetralnymi, dwusiecznymi, wysokościami albo środkowymi pewnego trójkąta, co oczywiście kończy dowód.

Lecz wy się uczcie patrzeć, a nie gapić - B. Brecht

Skoro dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwa równe kąty, to dlaczego dwusieczne kątów wewnętrznych każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie? Otóż...

Chociaż są to pojęcia abstrakcyjne (bo przecież nikt nie widział ani punktu, ani odcinka), przemawiają dobrze do wyobraźni i zgadzają się ze zdrowym rozsądkiem. I aż dziw bierze, jak wiele wokół nas zjawisk, które zdają się ostrzegać: uwaga to co wydaje się takie oczywiste, wcale nie musi być prawdziwe.

W artykule tym pragnę omówić pewne pojęcia, należące całkowicie do zakresu geometrii elementarnej, a dotąd niemal wcale nie zbadane. Jak wiadomo, dwa wielokąty i nazywamy równoważnymi, wyrażając to wzorem: jezeli dają się one podzielić na jednakową ilość wielokątów odpowiednio przystających...

Rozpatrzmy dowolny trójkąt oraz cztery kwadraty zbudowane w sposób przedstawiony na rysunku 1. Wówczas zaznaczone kolorem trzy odcinki, łączące odpowiednie wierzchołki kwadratów oraz środek najniższego kwadratu, przecinają się w jednym punkcie.

Tym razem o obrotach na płaszczyźnie...

Izometrią nazywamy przekształcenie, które nie zmienia odległości między punktami. Obrazy trzech niewspółliniowych punktów jednoznacznie ją wyznaczają. Twierdzenie Chaslesa głosi, że każda izometria płaszczyzny jest przesunięciem, obrotem lub symetrią z poślizgiem.

...a pięciokąt foremny można. Obok pokazana jest konstrukcja dziesięciokąta foremnego - kolorowy odcinek ma długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w większy okrąg, a więc biorąc co drugi z wierzchołków takiego dziesięciokąta, otrzymamy pięciokąt foremny. Konstrukcja jest - jak widać - bardzo prosta. Ma tylko tę wadę, że nie wskazuje, jak konstruować inne wielokąty foremne.

Z twierdzeniem Pitagorasa wszyscy się znamy, budowanie kwadratów na bokach trójkąta prostokątnego nie jest niczym nadzwyczajnym. A co możemy powiedzieć ciekawego o prostokątach skonstruowanych na bokach dowolnego trójkąta?

Twierdzenie o stycznej i cięciwie jest niezwykle prostym, a zarazem ogromnie przydatnym faktem z elementarnej geometrii...

W każdym zjawisku przyrody można dostrzec dążenie do osiągnięcia jakiegoś maksimum lub minimum. Umiejętność wyznaczania wartości ekstremalnych nie powinna więc być niczym niezwykłym...

Jedną z najsłynniejszych niemożliwych rzeczy w matematyce jest konstrukcja samym cyrklem i linijką kwadratu o polu równym polu danego koła. Problem ten, zwany kwadraturą koła, rozważano już w starożytnej Grecji, ale rozwiązano go, czyli udowodniono niekonstruowalność, dopiero w XIX wieku.

Przeciętny uczeń rozpoczyna podróż po fascynującym świecie geometrycznych konstrukcji uzbrojony w linijkę i kątomierz. Kiedy już nauczyciel uzna swojego podopiecznego za wystarczająco odpowiedzialnego, by nie rysował szkolnych ławek (jakże często zbyt naiwne założenie), uczeń dostaje do ręki kolejne narzędzie walki z czystą kartką papieru, jakim jest cyrkiel...

Dawno, dawno temu za górami, za lasami na Euklidesowych Równinach żyło sobie koło. Niezmiernie było dumne ze swej stałej szerokości. Chadzało ścieżkami, które miały szerokość równą jego średnicy, i jako jedyna figura zamieszkująca równiny mogło kręcić się przy tym jak szalone, stale podpierając obie krawędzie ścieżki.

Istnieje zaskakujący związek między okręgiem wpisanym w trójkąt i okręgiem na nim opisanym.