Kącik początkującego olimpijczyka

Najważniejsza nierówność na świecie

Delta, maj 2019

o artykule ...

Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Wersja do druku [application/pdf]: (350 KB)

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny (fanfary!).

Oto najważniejsza nierówność na świecie:

2 x ⩾ 0 dla x ∈ R.

W praktyce stosuje się ją w następujący sposób. Nierówność $|A$ którą chcemy udowodnić, przekształcamy równoważnie do postaci $|C$ i próbujemy zapisać $C$ jako kwadrat liczby rzeczywistej bądź jako sumę kwadratów liczb rzeczywistych.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Udowodnić, że dla liczb dodatnich $x,y,z$ prawdziwa jest nierówność

------------- √ yz +zx + xy x + y+ z ------------⩽ --------. 3 3

Wskazówka

Podnieść nierówność obustronnie do kwadratu, a następnie przekształcić do postaci

(x− y)2 +(y − z)2 + (z− x)2 ⩾ 0.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość wyrażenia

x2 + xy + y2 -2--------2- x − xy + y

dla liczb rzeczywistych $|x$ i $y,$ niebędących jednocześnie zerami.

Wskazówka

Te wartości to odpowiednio $|13$ oraz $3.$ Rozwiązanie ułatwia spostrzeżenie, że szacowany ułamek ma dodatni licznik i mianownik, bo

2 2 1 2 3 2 x ± xy + y = (x ± 2y) + 4y .

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Udowodnić, że dla liczb rzeczywistych $x ,x ,...,x 1 2 n$ zachodzi nierówność

2 2 2 x 1 + x2 + ...+ xn⩾ x1x2 + x2x3 +...+ xn−1xn + xnx1.

Wskazówka

Po obustronnym pomnożeniu przez $2$ i przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę nierówności otrzymamy

(x1− x2)2 + (x2 + x3)2 + ...+(xn −1−xn)2 + (xn− x1)2⩾ 0.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Wykazać nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową

√ --2---2--------2 x1 +-x2 +-...+-xn-⩽ x1 +-x2 +-...+-xn- n n

dla liczb rzeczywistych $|x1,x2,...,xn.$

Wskazówka

Można wykorzystać tożsamość

1 n n n n 2 -Q Q (xi − x j)2 = n Q x2i− (Q xi) . 2 i 1 j 1 i 1 i 1

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Suma liczb dodatnich $a,b,c$ jest równa $|1.$ Udowodnić, że

2 2 2 √ ----- a +b + c + 2 3abc ⩽ 1.

Wskazówka

Należy najpierw ujednorodnić nierówność:

√ --------------- a2 + b2 + c2 + 2 3abc(a + b+ c) ⩽ (a+ b +c)2.

Po uproszczeniu podstawienie nowych zmiennych za iloczyny $bc,ca$ i $|ab$ ułatwia dalsze rachunki.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Liczby dodatnie $|a,b,c$ spełniają równość $a +b + c = 1.$ Wykazać, że

3a− 1 3b− 1 3c − 1 ----2-+ ----2 +-----2⩾ 0. 1− a 1− b 1− c

Wskazówka

Wykazać, że

1-(--1--+ --1-) ⩾ --2-- 2 1− a 1− b 1+ c

oraz dwie nierówności analogiczne, następnie dodać wszystkie te trzy nierówności stronami.

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Udowodnić, że dla liczb nieujemnych $|a,b$ i $c$ zachodzi nierówność

√ -3-3 √ -3-3 √ -3-3- 3 1- 3 b c + c a + a b ⩽c + 4(a +b) .

Wskazówka

Dobrym punktem wyjścia jest nierówność $√--3 √ -3 √ -3 2 |( a + b − 2 c ) ⩾ 0.$

Narzędzia
Obiekty: Liczby rzeczywiste , Nierówności
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Najważniejsza nierówność na świecie»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Najważniejsza nierówność na świecie
Publikacja w Delcie: maj 2019
Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (350 KB)

Niech $|x,x ,...,x 1 2 n$ będą liczbami dodatnimi. Przyjmijmy $x = x n+k k$ dla całkowitych $k.$ Dowieść, że prawdziwa jest co najmniej jedna z nierówności: