Deltoid

Niemożliwe wycinanki

Joanna Jaszuńska

Delta, kwiecień 2017

o artykule ...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
Wersja do druku [application/pdf]: (348 KB)

Tym razem będziemy wycinać...

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Niemożliwe wycinanki»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Niemożliwe wycinanki
Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (88 KB)

Czy można wyciąć w kartce dziurę w kształcie monety 1 gr, a następnie przełożyć przez tę dziurę monetę 1 zł?

Rozwiązanie

Wzdłuż linii ciągłych zginamy w jedną stronę, wzdłuż przerywanych - w drugą

Po wycięciu dziury warto utworzyć cztery pomocnicze zagięcia (Rys. 1(a)). Następnie kartkę złożyć w pół wzdłuż jednego z nich i odciągnąć od siebie końce dziury (Rys. 1(b)), uzyskując dłuższy, wąski otwór.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Niemożliwe wycinanki»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Niemożliwe wycinanki
Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (88 KB)

Mamy kartkę o wymiarach $10 cm × 10 cm$ i nożyczki. Czy można wyciąć taką dziurę, przez którą przejdzie człowiek?

Rozwiązanie

Uproszczony schemat, należy wycinać gęstszą spiralę.

Kartkę można np. najpierw rozciąć wzdłuż spiralnej linii, uzyskując bardzo długi, poskręcany pasek, a następnie naciąć wzdłuż prawie całej długości tego paska, otrzymując w nim wystarczająco dużą dziurę.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Niemożliwe wycinanki»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Niemożliwe wycinanki
Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (88 KB)

Czy w sześcianie o krawędzi 20 zmieści się kwadrat o boku 21?

Rozwiązanie

Niech punkty $,N K, L,M$ leżą na krawędziach $|AB,$ sześcianu $|ABCDA$ tak, że $AK/AB$ (Rys. 3(a)). Wówczas $KL = 3/4 ⋅AC$ podobnie $N=KLM$ i odcinki te są równoległe, więc punkty $,N K, L,M$ leżą w jednej płaszczyźnie, a wobec symetrii problemu równoległobok $N KLM$ jest prostokątem.

Korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa (kolejno dla trójkątów $| AA$ oraz $AKN$ ) obliczamy, iż również $- =15√2, KN$ zatem $NKLM$ jest kwadratem o boku długości $√ -- 15 2 > 15 ⋅1,4 = 21.$

Jeśli każdy z jego wierzchołków przybliżymy do jego środka o taką samą odpowiednio małą odległość, uzyskamy w rezultacie kwadrat $′N′K ′L′M$ o krawędzi 21, którego wierzchołki leżą wewnątrz danego sześcianu.

(a) Kwadrat o boku $A 21,$ (b) Tunel o przekroju $N, KLM$
(c) Kolorowy sześcian przesuwany przez tunel w szarym sześcianie

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Niemożliwe wycinanki»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Niemożliwe wycinanki
Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (348 KB)

Czy w sześcianie o krawędzi 20 można wywiercić tunel, przez który da się przesunąć sześcian o krawędzi 21?

Rozwiązanie

Wywierćmy tunel, którego przekrojem poprzecznym jest kwadrat $′′ ′ ′ NK L M$ z poprzedniego zadania (wygląda to prawie jak na Rys. 3(b)). Zauważmy, że tunel ten nie ma punktów wspólnych z żadną z krawędzi sześcianu składających się na łamaną zamkniętą $ABCC$ (zaznaczoną na czarno na Rys. 3(a)), istotnie więc część sześcianu pozostająca wokół tunelu nie rozpada się i tworzy wielościenną obręcz, przez którą da się przesunąć sześcian o krawędzi 21 (Rys. 3(c)).

(a) Kwadrat o boku $A 21,$ (b) Tunel o przekroju $N, KLM$
(c) Kolorowy sześcian przesuwany przez tunel w szarym sześcianie

Tunel o przekroju $KLMN$ pozwala przesunąć przez dany sześcian największy możliwy inny sześcian (o krawędzi o około $6% |$ większej), nazywany sześcianem księcia Ruperta.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności