Jak krzywizna zżera przestrzeń

Cytat z General Relativity Johna Archibalda Wheelera, który został umieszczony u góry marginesu artykułu Michała Bejgera, można przejrzyście zilustrować geometrycznie, gdy zajmiemy się przestrzenią dwuwymiarową.

Jak wiadomo, pole czaszy sferycznej to $2π Rh,$ gdzie $|R$ to promień sfery, a $|h$ to wysokość czaszy. Skorzystanie ze "szkolnego" twierdzenia, że przyprostokątna w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i swojego rzutu na nią, pozwala na spostrzeżenie, że również na sferze pole koła dane jest wzorem $π r2$ - trzeba tylko pamiętać, że owo $r$ to przestrzenna odległość środka koła od brzegu, aby nie było nieporozumień, oznaczmy ją przez $ρ$ (Rys. 1). Faktycznie $2 |2πRh = π(2R)h = πρ .$

Dla mieszkańców sfery taki promień nie ma sensu. Dla nich promieniem koła na sferze jest łuk $|KL,$ oznaczmy jego długość przez $r,$ czyli jest to kąt $KOL$ pomnożony przez $R.$ Ponieważ $|?KOL = 2?KML$ i $ρ = 2R sin ?KML,$ więc

r ρ2 = 4R2 sin2 ?KML = 2R2(1− cos?KOL) = 2(1− cos -) R2, R

zatem pole koła na sferze to $|2π (1− cos r) R2. R$

W szczególności pole koła o promieniu $r$ na sferze jednostkowej to $|2π(1− cosr).$

Wracając do Wheelera, musimy rozważać nie tylko powierzchnie mające stałą krzywiznę dodatnią (jak sfera - jej krzywizna to $1/R2$ ), ale i te, które mają krzywiznę ujemną. Przyzwoitych "sfer" o stałej ujemnej krzywiźnie w przestrzeni trójwymiarowej nie ma. Ich najbliższą krewną jest pseudosfera (Rys. 2), powierzchnia powstała z obrotu traktrysy (Rys. 3). Długość wyznaczającego traktrysę odcinka (oznaczmy ją przez $R$ ) nazywamy promieniem pseudosfery. Jeśli pominąć jej "kant", to pseudosfera ma wszędzie krzywiznę równą $−1/R2.$

Rozumowanie analogiczne do przeprowadzonego dla sfery (choć już, niestety, bez "szkolnego" wsparcia) pozwala stwierdzić, że pole koła o promieniu $r$ na pseudosferze jednostkowej to $2π(cosh r− 1).$

Zauważmy, że $2 2π (1− cosr)⩽ π r ⩽ 2π(cosh r− 1).$ W tym celu należy tylko pamiętać,

r2 r4 r6 r8 r2 r4 r6 r8 cosr = 1− 2! + 4!− 6! + 8!− ... i cosh r = 1+ 2! + 4! + 6! + 8! + ...

Mamy więc dla $r > 0$

2 4 6 8 4 6 8 2π (1− (1− r- + r-− r-+ r- − ...)) = π (r2− 2r + 2r-− 2r- + ...) < πr2 2! 4! 6! 8! 4! 6! 8!

oraz

r2 r4- r6 r8 2 2r4 2r6 2r8 2 2π ((1+ 2! + 4! + 6! + 8! + ...)− 1) = π (r + 4! + 6! + 8! + ...) > πr .

Zatem koła na powierzchni o krzywiźnie dodatniej mają mniejsze pole od kół o tym samym promieniu na płaszczyźnie, a koła na powierzchni o krzywiźnie ujemnej - pola większe. Można to interpretować tak, że krzywizna dodatnia zżera powierzchnię, przyciągając do siebie wszystko, a krzywizna ujemna rozpycha powierzchnię, wszystko od siebie odsuwając. Fizycy lubią te oddziaływania nazywać grawitacją.

I na koniec bardzo praktyczne spostrzeżenie krawieckie. Typowa spódnica, gdy jej "nosicielka" obraca się szybko w tańcu, przybiera kształt zbliżony do czaszy. Ale gdy jest uszyta z pełnego klosza, przy szybkich obrotach ułoży się płasko na poziomie talii. Gdy wreszcie wszyjemy w nią jeszcze więcej klinów (tak się często szyje spódnice dla zespołów folklorystycznych), przy obrotach będzie falowała, a jej brzeg będzie naśladował sinusoidę. Przykład, co to znaczy za mało - a co za dużo materiału, jest trafiony, ale chyba z tym przyciąganiem to - w przypadku spódnic - jest nie całkiem tak, jak chciałby Wheeler.