Zmieści się?

Delta, czerwiec 2015

o artykule ...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Wersja do druku [application/pdf]: (55 KB)

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zmieści się?
Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)

Prostokątny pasek papieru można przykryć pewnym kołem. Pasek ten składamy wzdłuż dowolnej prostej. Czy nadal można go przykryć tym samym kołem?

Rozwiązanie

Tak. Koło przykrywające pasek można składać wraz z nim, wtedy złożony pasek mieści się w złożonym kole, które można przykryć kołem niezłożonym.

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zmieści się?
Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)

Czy trójkąt może zmieścić się w kole mniejszym od koła na nim opisanego?

Rozwiązanie

Tak, dowolny trójkąt rozwartokątny zmieści się w kole, którego średnicą jest jego najdłuższy bok - cięciwa koła opisanego.

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zmieści się?
Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)

Rys. 1

a) Kwadrat o boku 2 dzielimy na cztery kwadraty jednostkowe i w każdy z nich wpisujemy koło. Koło $K$ ma środek w środku kwadratu i jest styczne zewnętrznie do każdego z pozostałych kół (Rys. 1). Wyznacz jego promień $r.$

Rys. 2

b) Wyznacz promień analogicznej kuli $K$ dla sześcianu o krawędzi 2 i ośmiu kul o średnicy 1 (Rys. 2).

c) Wyznacz promień analogicznej $|n$ -wymiarowej kuli $K$ dla $n |$ -wymiarowego hipersześcianu o krawędzi 2 i $n 2$ kul $n$ -wymiarowych o średnicy 1.

Rozwiązanie

a): Średnica każdego z czterech kół równa jest 1, a przekątna kwadratu jednostkowego ma długość $√ -- | 2,$ stąd $√ -- r = 12 ( 2 −1) .$
b): Średnica każdej z ośmiu kul równa jest 1, a przekątna sześcianu jednostkowego ma długość $√ -- | 3,$ stąd $1 √ -- r = 2 ( 3 −1) .$
c): Średnica każdej z $2n$ kul równa jest 1, a przekątna hipersześcianu jednostkowego ma długość $√ -- | n,$ stąd $1 √ -- |r = 2( n − 1).$
Dla $n > 4$ uzyskujemy $1 r > 2,$ więc "mała" kulka $K$ jest większa od każdej z "dużych" kul, a dla $n > 9$ mamy $r > 1,$ czyli kula $K$ wystaje poza hipersześcian!

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Zmieści się?»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zmieści się?
Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)
Zadanie 4 pochodzi z książki K. Ciesielskiego 102 zadania dla małych, średnich i dużych sympatyków matematyki, Omega, 2012.

Poczta w Bęcwalonii nie przyjmuje do przesyłki paczek dłuższych niż 1 metr; firmy kurierskie akurat strajkują. Pan Fletowski chce przesłać pilnie swój cenny flet o długości $|1,65$ m. Czy istnieje możliwość przesłania fletu?

Rozwiązanie

Tak. Pan Fletowski może umieścić flet wzdłuż głównej przekątnej sześciennego pudła o krawędzi długości 1 m - jej długość to $-- |√ 3≈ 1,73 m.$

Narzędzia
Obiekty: Figury
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Zmieści się?»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zmieści się?
Publikacja w Delcie: czerwiec 2015
Publikacja elektroniczna: 31-05-2015
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (55 KB)

Poczta w Pudełkolandii przewozi tylko prostopadłościenne paczki, a opłata za przesyłkę równa jest sumie długości, szerokości i wysokości opakowania. Czy można zaoszczędzić, umieszczając pudełko o większej sumie długości wymiarów wewnątrz pudełka o mniejszej sumie?

Rozwiązanie

$|ε$ -otoczka prostokąta, jej pole równe jest $2 ab 2 a b ε πε.$

Nie. Rozważmy $ε$ -otoczkę pudełka o wymiarach $a × b× c,$ czyli zbiór złożony z wszystkich punktów z jego wnętrza oraz punktów odległych od niego o mniej niż $|ε.$ Ma ona kształt większego prostopadłościanu o zaokrąglonych krawędziach i rogach. Jej objętość równa jest

A + B +C + D

gdzie
$|A = abc$ (objętość wyjściowego prostopadłościanu),
$|B = 2(ab + bc +ca) ε$ (objętości prostopadłościanów zbudowanych na ścianach),
$2 |C = (a + b+ c)πε$ (fragmenty na równoległych krawędziach sumują się do walców o promieniu podstawy $ε$ ),
$|D = 4π ε3 3$ (fragmenty na rogach prostopadłościanu sumują się do kuli o promieniu $|ε$ ).

Zauważmy, że jeśli pudełko o wymiarach $|d ×e × f$ da się włożyć do pudełka o wymiarach $a ×b × c,$ to również $ε$ -otoczka pierwszego mieści się w $|ε$ -otoczce drugiego. To z kolei oznacza, że różnica objętości jest nieujemna:

abc+2(ab+bc+ca) ε+(a+b+c) πε2+4-πε3−def −2(de+ef +f d)ε− (d+e+f )πε2− 4πε3 ⩾ 0. 3 3

Załóżmy, że $a +b + c≠ d + e + f.$

Powyższa różnica objętości jest wówczas wielomianem stopnia 2 zmiennej $ε.$ Skoro ma on wartość nieujemną dla każdego $ε > 0,$ to musi mieć dodatni współczynnik przy najwyższej potędze $ε.$ Stąd $|a+ b +c > d +e + f,$ co kończy dowód.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

Delta mi!

Deltoid

Zmieści się?