Euklides w III wieku p.n.e. pokazał, jak tworzyć matematyczną rzeczywistość na drodze aksjomatycznej. Istnieją, oczywiście, inne sposoby pomnażania matematycznych bytów i uzasadniania ich poprawności.

Problemy istnienia stanowią nieodłączną część matematyki i czasem wpływają na jej rozwój. Wystarczy przypomnieć historię poszukiwania odpowiedzi na pytania starożytnych Greków o istnienie konstrukcji platońskiej podwojenia sześcianu, kwadratury koła, trysekcji kąta. W podstawach matematyki niezłego zamieszania narobiły pytania o to, czy istnieje zbiór wszystkich zbiorów, czy istnieje zbiór złożony ze wszystkich zbiorów, które nie są swoimi elementami. Otwarte pytania w rodzaju – czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych postaci  i  – nadal inspirują matematyków.

Na początku XX wieku rozliczne zastosowania równań (różniczkowych, całkowych) skupiły uwagę na następujących problemach:

(1)

Czy równanie ma rozwiązanie? Ile jest rozwiązań?

(2)

Gdzie rozwiązania są zlokalizowane? Jaka jest ich struktura?

(3)

Jak te rozwiązania wyznaczyć?

Odpowiedzią matematyków były dwa spektakularne twierdzenia o punktach stałych (punkt stały przekształcenia  to taki punkt  że ). Sformułujemy je dla przestrzeni euklidesowych  gdzie  jest metryką. Należy podkreślić, że ten rezultat nie przenosi się do przestrzeni o nieskończonym wymiarze.

Rys. 1

Rys. 2

Sformułowania tych twierdzeń są optymalne. Antypodyczne przekształcenie pierścienia (Rys. 1), przekształcenie koła bez brzegu (Rys. 2), izometria  przekształcenie  które spełnia warunek  dla (ale nie istnieje taka uniwersalna stała  dla której byłby spełniony warunek z twierdzenia Banacha), nie mają punktów stałych.

Działanie tych twierdzeń pokażemy na szkolnych zadaniach.

Rozważany ciąg zapisujemy rekurencyjnie:

Z oszacowań  oraz z warunku

wynika, że  dla każdego

Ponieważ przekształcenie  odwzorowuje przedział  w siebie i jest zwężające,

więc na podstawie twierdzenia Banacha  ma dokładnie jeden punkt stały  gdzie  Rozwiązując równanie  otrzymujemy

Uwaga. Każda liczba niewymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie na ułamek łańcuchowy arytmetyczny (wszystkie liczniki są równe ) nieskończony:

Leonhard Euler wykazał, że

Dla liczby  takie rozwinięcie nie jest znane! Wiadomo jedynie, jaka jest wartość  dla (Eric Weisstein, 2011 r.):

Od wiedzy, że „coś” istnieje, do wiedzy, jak to „coś” wygląda, droga czasem jest bardzo długa (jeśli w ogóle można ją przebyć).

Rys. 3

Jeśli proste  są równoległe, to każdy punkt  spełnia warunki zadania. Gdy istnieje para kolejnych prostych  i   które nie są równoległe, to rzutowanie prostopadłe  na  jest przekształceniem zwężającym (Rys. 3)

W tym przypadku przekształcenie  opisane w zadaniu, jest zwężające ze stałą  gdzie  jest miarą jednego z kątów między dwiema kolejnymi nierównoległymi prostymi. Zatem na podstawie twierdzenia Banacha istnieje taki punkt  że

Kolejne zadanie jest (chyba?) trudniejsze. Skoro łatwo wskazać przekształcenie ciągłe koła z dziurą (pierścienia) na siebie bez punktu stałego, to dla koła z większą liczbą dziur

Rys. 4

Rozwiązanie jest tutaj, ale najpierw spróbuj rozwiązać je sam.

Zastosowania twierdzeń Brouwera i Banacha w zaawansowanych działach matematyki, m.in. w teorii równań różniczkowych, całkowych, przyczyniły się do pojawienia się kolejnych wyników Juliusza Schaudera, Solomona Lefschetza, Karola Borsuka i wielu innych. Doprowadziło to do powstania użytecznej teorii punktów stałych, na którą dzisiaj można patrzeć z topologicznego lub metrycznego punktu widzenia.