Deltoid

Środek ciężkości II

Delta, grudzień 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (105 KB)

Tematem poprzedniego deltoidu był środek ciężkości i związane z nim zadania. W tym numerze pora na zastosowania środka ciężkości w problemach pozornie z nim niezwiązanych. Na marginesie przypominamy podstawowe fakty.

Przypomnijmy podstawowe fakty.

Fakt 1. Dla punktów $\text{[math]}$ z masami odpowiednio $\text{[math]}$ o niezerowej sumie, istnieje dokładnie jeden środek ciężkości

display-math

i jedynie on spełnia warunek

display-math

W szczególności $\text{[math]}$ to jedyny taki punkt na prostej $\text{[math]}$ że

display-math

Uwaga: ujemne masy można interpretować jako baloniki z helem.

Fakt 2. Jeśli część spośród rozważanych punktów zastąpić ich środkiem ciężkości z masą równą sumie ich mas, to środek ciężkości całego układu nie zmieni się.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Środek ciężkości II»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Udowodnij, że w dowolnym czworościanie odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Umieśćmy w wierzchołkach czworościanu równe masy. Każdy odcinek łączący środki przeciwległych krawędzi łączy środek ciężkości dwóch mas ze środkiem ciężkości pozostałych dwóch, przechodzi więc przez środek ciężkości ich wszystkich.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości II»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Na bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ czworokąta wypukłego $\text{[math]}$ wybrano takie punkty $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ Wykaż, że środki $\text{[math]}$ odcinków $\text{[math]}$ są współliniowe.

Rozwiązanie

Umieśćmy w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ masy $\text{[math]}$ a w $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ masy $\text{[math]}$ takie, by $\text{[math]}$ (da się takie masy dobrać). Wtedy $\text{[math]}$ Wobec tego

display-math

Jednocześnie $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ więc

display-math

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Środek ciężkości II»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Podstawą ostrosłupa $\text{[math]}$ jest równoległobok $\text{[math]}$ Punkty $\text{[math]}$ na krawędziach $\text{[math]}$ spełniają warunki: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Płaszczyzna $\text{[math]}$ przecina krawędź $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Wyznacz $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Umieśćmy w punktach $\text{[math]}$ masy odpowiednio $\text{[math]}$ a w punkcie $\text{[math]}$ trzy masy: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ więc środek ciężkości $\text{[math]}$ układu $\text{[math]}$ leży na płaszczyźnie $\text{[math]}$ Ponadto $\text{[math]}$ bo $\text{[math]}$ Skoro $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$ Stąd i z wcześniejszego $\text{[math]}$ wynika $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości II»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Okrąg wpisany w trójkąt $\text{[math]}$ jest styczny do boków $\text{[math]}$ odpowiednio w punktach $\text{[math]}$ Punkt $\text{[math]}$ jest środkiem boku $\text{[math]}$ zaś odcinki $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Umieśćmy w $\text{[math]}$ odpowiednio masy $\text{[math]}$ i wyznaczmy środek ciężkości $\text{[math]}$ tego układu. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ leży na prostej $\text{[math]}$ Jednocześnie $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ leży też na prostej $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$

Umieśćmy teraz dodatkowo masę $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ i masę $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ wtedy $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie środkiem ciężkości „starych” i „nowych” mas, wtedy $\text{[math]}$ leży na prostej $\text{[math]}$ łączącej ich środki ciężkości.

Z twierdzenia o dwusiecznej, $\text{[math]}$ jest jej spodkiem dla $\text{[math]}$ Leży więc na niej punkt $\text{[math]}$ Analogicznie leży on też na pozostałych dwusiecznych kątów trójkąta, jest zatem środkiem okręgu wpisanego. Stąd $\text{[math]}$ co kończy dowód.

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości II»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Wykaż, że w dowolnym czworokącie odcinki łączące środki przeciwległych boków oraz odcinek łączący środki przekątnych przecinają się w jednym punkcie.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości II»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Czworokąt $\text{[math]}$ jest wpisany w okrąg o środku $\text{[math]}$ Przekątne $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są prostopadłe i przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Udowodnij, że punkt przecięcia odcinków łączących środki przeciwległych boków jest środkiem odcinka $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości II»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości II
Publikacja w Delcie: grudzień 2011
Publikacja elektroniczna: 01-12-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)

Punkty $\text{[math]}$ należą odpowiednio do boków $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ proste $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Wskazówka

Umieśćmy w $\text{[math]}$ takie masy $\text{[math]}$ by $\text{[math]}$ (czy zawsze się da?). Wtedy $\text{[math]}$ (bo $\text{[math]}$ ), zatem $\text{[math]}$ i analogicznie $\text{[math]}$

Zadanie 7 to twierdzenie van Aubela. Inny dowód opisano w deltoidzie 3/2011.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności