Według encyklopedii szkolnej „Matematyka”: liczba  ludolfina, stała matematyczna określona jako stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy;  Mając przed sobą cytowaną definicję, spróbujmy zastanowić się, czy ów stosunek jest ten sam dla każdego okręgu i odpowiadającej mu średnicy w ogólnym przypadku.

Zaczniemy od geometrii sferycznej. Okręgiem na sferze nazywamy miejsce geometryczne wszystkich jej punktów, których odległość od wybranego punktu  (na sferze) wynosi  gdzie  Odległości na sferze można wyrażać w mierze kątowej lub łukowej. Nie powinno więc budzić tu zdziwienia stwierdzenie, że, na przykład, długość promienia okręgu wynosi  czy  Dalej będziemy używać miary łukowej. Punkt  nazywamy środkiem (sferycznym), a  – promieniem (sferycznym) okręgu. Okręgi sferyczne możemy podzielić na małe i wielkie. Okręgi małe powstają wskutek przecięcia sfery płaszczyzną nieprzechodzącą przez jej środek  Okręgi wielkie to zbiory punktów przecięcia sfery z pewną płaszczyzną przechodzącą przez jej środek.

Taki okrąg, na przykład równik kuli ziemskiej, ma promień  i dwa środki będące punktami antypodycznymi (na Ziemi są to bieguny). Najkrótszym połączeniem, czyli linią geodezyjną lub ortodromą, dwóch punktów sfery jest właśnie krótszy łuk przechodzącego przez nie okręgu wielkiego. Jeśli te łuki są równej długości, to oba są najkrótszymi połączeniami. Okrąg wielki jest więc odpowiednikiem prostej euklidesowej. Ta sferyczna prosta ma skończoną długość i jest zamknięta.

Rys. 1 Okrąg sferyczny i jego średnica. To, że ograniczone przez ten okrąg koło ma mniejsze pole niż płaskie koło o tym samym promieniu, wyraża fakt, iż to pole jest takie, jak pole płaskiego koła o promieniu będącym przestrzenną (!) odległością jego środka od brzegu.

Ustalmy promień sfery  Długość równika wynosi  a długość jego średnicy  równa dwóm długościom sferycznego promienia równika, jest połową długości równika, czyli  Zatem stosunek długości okręgu wielkiego do długości jego średnicy w tej sytuacji jest równy 2. Długość i średnicę okręgu równoleżnikowego, leżącego na szerokości geograficznej  można wyrazić za pomocą wzorów

A każdy okrąg na sferze można przedstawić jako okrąg równoleżnikowy – trzeba zmienić położenie równika tak, żeby jego płaszczyzna była równoległa do płaszczyzny wyznaczonej przez wybrany okrąg. Względem nowego równika możemy obliczyć szerokość geograficzną wybranego okręgu.

Na przykład, dla szerokości geograficznej równej  długość odpowiadającego jej okręgu małego równa jest połowie długości równika, czyli  a średnica ma długość  Zatem w tym przypadku stosunek długości okręgu i jego średnicy jest równy 3.

Zobaczyliśmy kilka przykładów, a teraz warto zadać ogólne pytanie o zakres wartości stosunku długości dowolnego okręgu do jego średnicy na sferze. Żeby łatwiej opisać dalsze obliczenia, wprowadźmy funkcję  wyrażającą stosunek długości okręgu do długości odpowiadającej mu średnicy. Ponieważ wszystkie okręgi na danej szerokości geograficznej są takie same, parametrem funkcji będzie właśnie szerokość geograficzna. Ogólny wzór, dla  to

a po podstawieniu otrzymujemy

Funkcja  jest więc rosnąca w rozpatrywanej dziedzinie, a zbiór jej wartości to odcinek  Stosunek długości okręgu do długości jego średnicy na sferze nie tylko nie jest wielkością stałą, ale opisuje go całkiem nietrywialna funkcja.

Rys. 2 Wykres funkcji  dla okręgów sferycznych.

Dziedzinę funkcji  zawęziliśmy dotąd do przedziału  co odpowiada półsferze bez bieguna o dodatniej (północnej) szerokości geograficznej. Jednak w obliczeniach uwzględniliśmy wszystkie możliwe długości okręgów na sferze, czyli właściwie znamy już wartości funkcji  na przedziale  Następujący wzór jest uogólnieniem poprzedniego na ujemne szerokości geograficzne:

Wykres parzystej funkcji  dla  przedstawia rysunek 2 .

W granicznym przypadku, gdy promień sferyczny  małego okręgu dąży do zera, okrąg sferyczny coraz bardziej „rozpłaszcza się” – wówczas  jest bliskie  Jako model Ziemi najczęściej przyjmuje się sferę lub elipsoidę obrotową, których powierzchnię lokalnie aproksymuje się płaszczyzną euklidesową styczną w danym punkcie. Dla wielu zastosowań jest to zabieg dopuszczalny, ponieważ wystarcza do otrzymania wymaganej dokładności wyników. Ale nie zawsze – w geodezji, nawigacji, kartografii czy astronomii znamy wiele przykładów, gdzie przybliżenie płaszczyzną nie wystarcza, a na obserwowanym obszarze wartość funkcji  istotnie różni się od  W takich przypadkach granice aproksymacyjnego stosowania płaskiej geometrii euklidesowej należy wyraźnie określić.

Na przykład, w pomiarach terenowych – wykorzystywanych lokalnie w geodezji niższej – obszar powierzchni Ziemi można traktować jako płaski wtedy, gdy znajduje się on w kole o promieniu około 15,5 km (wówczas jego powierzchnia nie przekracza 760 km ). Odpowiada to w przybliżeniu polu koła o średnicy równej  łuku okręgu wielkiego. Wyniki bezpośrednich pomiarów, nieuwzględniających wpływu krzywizny powierzchni Ziemi, wykonanych w takim obszarze, można przedstawić na płaszczyźnie w odpowiedniej skali, pomijając odwzorowanie kartograficzne, i efekt będzie satysfakcjonujący.

Rys. 3 Okrąg równoleżnikowy na stożku obrotowym i jego średnice.

Rys. 4 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie. Kolorem zaznaczone są średnice narysowanego okręgu.

Zobaczmy teraz, jak zachowują się okręgi na stożku obrotowym. Stożek obrotowy to powierzchnia powstała przez obrót prostej  ( ) nachylonej do osi  pod kątem  dokoła osi  w prostokątnym układzie współrzędnych  Przyjmijmy, że  czyli patrzmy tylko na jedną część stożka, tę pod płaszczyzną  (Rys. 3). Spróbujmy powiedzieć coś o zbiorze wartości funkcji  określonej, jak poprzednio, jako stosunek długości okręgu do długości jego średnicy.

Rozważmy rodzinę okręgów leżących na stożku, które powstają w wyniku przecięcia go płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny  Okręgi te nazywamy, analogicznie jak na sferze, równoleżnikami. Punkt  wierzchołek stożka, jest zarazem środkiem wszystkich okręgów równoleżnikowych. Intuicyjnie stwierdzamy, że powierzchnię boczną stożka obrotowego można otrzymać, zwijając kawałek papieru, czego z powierzchnią sfery zrobić się nie da. Spróbujmy więc spojrzeć na nasz problem, rozkładając powierzchnię boczną stożka na płaszczyźnie. Po tej operacji otrzymamy koło bez wycinka o kącie o mierze łukowej  przedstawione na rysunku 4 . Na tym samym rysunku widać okrąg na stożku, którego długość obliczymy. Niech  oznacza długość odcinka  Nasze obliczenia będą zależały od dwóch parametrów – odległości  okręgu od wierzchołka stożka oraz kąta  charakteryzującego stożek.

Długość pełnego okręgu na płaszczyźnie to  Od niej trzeba odjąć długość łuku poza rozłożoną powierzchnią stożka, czyli  Wobec tego długość równoleżnika leżącego w odległości  od wierzchołka  jest równa

Trudniejsza sprawa jest ze średnicami. Mogłoby się wydawać, że średnica takiego okręgu równoleżnikowego przechodzi przez punkt  – otóż nie! Na rysunku 4 widać, jak wyglądają najkrótsze odcinki (  i ) łączące przeciwległe punkty równoleżnika. Ich długość  wyznaczymy, korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :

Rys. 5 Wykres funkcji  dla okręgów równoleżnikowych stożka obrotowego.

Teraz możemy obliczyć :

Okazuje się, że wartość funkcji  nie zależy od  czyli na każdym stożku wszystkie równoleżniki mają ten sam stosunek długości okręgu do średnicy. Ale ta liczba jest różna dla różnych stożków – zależy od kąta  Funkcja, którą możemy zapisywać teraz jako  przyjmuje wartości z przedziału  dla 

Czytelnik Wnikliwy z pewnością zapyta, co się zmieni, jeśli uwzględnimy też okręgi, które nie są równoleżnikami. Czy nadal stosunek długości okręgu do średnicy będzie stały na każdym stożku? Można zacząć od takiego zadania: na powierzchni bocznej stożka obrotowego o ustalonym kącie  dany jest okrąg o promieniu  i środku  niebędącym wierzchołkiem stożka. Czy okrąg równoleżnikowy o takim samym promieniu ma taką samą długość? Lub ogólniej, czy jest prawdą, że na powierzchni bocznej stożka obrotowego dla dowolnej liczby  istnieje nieskończenie wiele okręgów o promieniu  ale różnej długości?

Obliczyliśmy, że funkcja  nie jest stała w ogólnym przypadku. Wobec tego nieostrożnie byłoby stwierdzić bez zastanowienia, że liczba  wyraża wartość stosunku długości okręgu do długości jego średnicy. Tak jest istotnie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie, do czego przyzwyczaja się nas niemal od początków nauki w szkole. Ale, jak widać, przenoszenie przyzwyczajeń z jednej, „ulubionej” geometrii na inne nie zawsze jest dobrym pomysłem.

W przykładach otrzymaliśmy wyłącznie wartości funkcji  nieprzekraczające  Czy może się zdarzyć, że ? Odpowiedzi proszę spróbować poszukać w geometrii hiperbolicznej.