Rys. 1 Składanie paska papieru.

Rys. 2 Rodzina smoczych krzywych.  jest krzywa rzędu

Jeśli przerysujemy kształt, który przyjmuje górna krawędź tasiemki, dostaniemy ciekawą krzywą. Gdy złożymy papier nie trzy, ale cztery lub więcej razy, krzywa, jaką otrzymamy, stanie się bardziej złożona (Rys. 2). Coraz bardziej przypominać będzie brodzącego w wodzie smoka, stąd też jej nazwa – smocza krzywa. Po raz pierwszy była badana w roku 1966 przez fizyków z NASA: Johna Heighwaya i Williama Hartera. Do jej popularyzacji przyczynili się Martin Gardner w swoich Grach Matematycznych oraz pisarz Michael Crichton: jeden z bohaterów jego powieści Park Jurajski, specjalizujący się w teorii chaosu matematyk Ian Malcolm, ilustrował za pomocą smoczej krzywej swoje przemyślenia na temat przyszłości tak skomplikowanych przedsięwzięć, jak wskrzeszanie wymarłych gadów. Swoją drogą, krzywa  równie dobrze jak smoka przypomina dinozaura.

Jeśli całkowicie rozprostujemy tasiemkę, to na jej powierzchni dostrzeżemy rowki i górki. Odpowiadają one zakrętom, które będziemy brać, jeśli poczynając od wyróżnionego końca krzywej, będziemy ją rysować ołówkiem: rowek to zakręt w lewo ( ), górka – w prawo ( ). Jeśli zgięliśmy papier  razy, wskutek czego otrzymaliśmy krzywą rzędu  to zrobimy  zakrętów. Oznaczmy przez  słowo składające się z liter  i  , opisujące ciąg zakrętów na krzywej rzędu  Mamy:

Ponieważ nasze możliwości składania papieru są dość ograniczone, spróbujmy znaleźć jakąś regułę opisującą słowo  która pozwoli nam rysować dowolnie duże krzywe bez konieczności proszenia o pomoc specjalisty od origami. Złóżmy tasiemkę  razy, a następnie rozprostujmy ostatnie  złożeń. Na powierzchni widzimy  zagięć, które powstały ze złożenia paska  razy, zatem opisuje je słowo  Jeśli rozprostujemy pasek papieru -ty raz, to będą one pierwszymi zagięciami, zatem słowo  zawsze zaczyna się od  Zauważmy ponadto, że rowki na jednej połówce papieru odpowiadają górkom na drugiej połówce i vice versa. Innymi słowy, jeśli -tym zagięciem (dla ) w  jest rowek, to -tym zagięciem od końca będzie górka. Wprowadźmy operację  która odwraca kolejność liter w słowie i jednocześnie zamienia litery  z  , dla przykładu  Wtedy

Sprawdzamy, że istotnie  oraz  Tym sposobem uzyskaliśmy rekurencyjny wzór na słowo  Okazuje się jednak, że może być ono opisane również w inny sposób. Złóżmy pasek papieru  razy, rozprostujmy go, a następnie pomalujmy zagięcia. Następnie złóżmy go znowu, tym razem  razy, i rozprostujmy. Zauważmy, że -te złożenie spowodowało powstanie  nowych zagięć, które pojawiły się pomiędzy pomalowanymi zagięciami. Co więcej, nowe zagięcia występują regularnie: na przemian rowek i górka. To pozwala nam wyprowadzić nowy wzór: aby uzyskać  wstawiamy puste pola na początku i na końcu słowa  oraz między jego kolejnymi literami. Następnie wpisujemy w puste pola na przemian litery  i  Zatem  powstaje następująco:

Powyższa metoda jest również rekurencyjna (tzn. odwołuje się do słów dla mniejszych krzywych), ponadto obie metody konstruują słowa w całości. A co, gdybyśmy chcieli mieć wzór na -ty zakręt na krzywej rzędu  tzn. na -tą ( ) literę słowa ? To proste: z tego, co powiedzieliśmy, wynika, że jeśli  jest nieparzyste, to tą literą jest  lub  w zależności od parzystości  W przeciwnym przypadku jest to litera  w słowie  Tak więc jeśli  jest największą potęgą dwójki dzielącą  czyli  dla nieparzystego  to szukaną literą jest wtedy, gdy  jest parzyste.

Ponieważ słowo  zawsze zaczyna się od  więc krzywą rzędu  możemy narysować, przedłużając krzywą rzędu   Z tego wynika naturalna konstrukcja nieskończonej smoczej krzywej, która odpowiada słowu

Rys. 3 Proces budowania krzywej  (linia ciągła) na krzywej  (linia przerywana).

Rysując smoczą krzywą coraz wyższych rzędów, dostrzeżemy jej zaskakującą własność: krzywa ta nie ma samoprzecięć! Co więcej, o ile będziemy pamiętali, by na każdym zakręcie robić mały łuk, to krzywa ta żadnego punktu nie odwiedza dwa razy. Zanim udowodnimy, że jest tak w istocie, spójrzmy na jeszcze jeden sposób, w jaki możemy otrzymać smoczą krzywą. Zacznijmy od odcinka o długości 1, który jest smoczą krzywą rzędu 0; oznaczmy go przez  (Rys. 3). Teraz zbudujmy na tym odcinku trójkąt prostokątny równoramienny, dorysowując dwa odcinki o długościach  Te przyprostokątne tworzą krzywą rzędu 1. I dalej: na krzywej  dobudowujemy  trójkątów, naprzemiennie po prawej i lewej stronie krzywej – w ten sposób uzyskujemy  Zauważmy, że choć krzywa  składa się z  kawałków, to jej długość wynosi  gdyż odcinki kolejnych rzędów są  razy krótsze. Jeśli będziemy wykonywać tę operację dalej, to w granicy otrzymamy nieskończonej długości fraktalną krzywą zwaną smokiem Heighwaya. Smoczą krzywą możemy więc traktować jako aproksymację smoka.

Rys. 4 Siatka  pomalowana w „szachownicę”. Na czarno zaznaczono krzywą  kolorem – krzywą

Teraz już jesteśmy gotowi do dowodu faktu, że smocza krzywa nie ma samoprzecięć. Dowód przytaczamy za Geraldem Edgarem [1]. Narysujmy krzywą  na kwadratowej siatce  o długości krawędzi  Każdy odcinek krzywej pokrywa się z jedną krawędzią siatki. Ponadto pomalujmy kwadraty siatki  w „szachownicę” (Rys. 4). Zauważmy, że gdy konstruujemy krzywą  to rysujemy trójkąty naprzemiennie na kolorowych i białych kwadratach. Ponadto wszystkie trójkąty konstruowane na kolorowych polach pochodzą od odcinków  równoległych do jednej z osi siatki  a trójkąty konstruowane na białych polach pochodzą od odcinków równoległych do drugiej osi.

Ponieważ w każdym wierzchołku siatki krzywa ma kąt prosty (który, być może, dotyka drugiego kąta prostego w tym wierzchołku), zatem aby uzyskać samoprzecięcie, któraś z krawędzi siatki musiałaby należeć do krzywej dwukrotnie jako jej odcinek. Załóżmy zatem, że w  nie ma takiego odcinka; pokażemy, że wynika z tego, iż w  również takiego nie ma. Niech  będzie dowolnym kwadratem w siatce    – krawędzią siatki  wewnątrz  a  i  – krawędziami siatki  o wspólnym wierzchołku z  Krzywa  odwiedza każdą z krawędzi  co najwyżej raz, a krzywa  odwiedza krawędź  dokładnie raz dla każdego trójkąta skonstruowanego na  lub  Ale ponieważ te dwie krawędzie są prostopadłe, wobec tego tylko na jednej z nich możemy zbudować trójkąt w kwadracie  – na tej, która jest kompatybilna z kolorem kwadratu  To kończy dowód.

Rys. 5 Cztery nieskończone smocze krzywe wypełniające płaszczyznę.

Rys. 6 Smok Heighwaya jest sumą dwóch swoich kopii o rozłącznych wnętrzach, przy podobieństwie o skali

Równie ciekawy jest fakt następujący: jeśli narysujemy cztery nieskończone smocze krzywe mające swoje początki w tym samym punkcie, ale obrócone o wielokrotności  to nie tylko nie będą się one ze sobą przecinać, ale, co więcej, pokryją całą płaszczyznę (tzn. każda jednostkowa krawędź siatki będzie należeć do jednej z krzywych; Rys. 5). Dowód tego faktu jest trudniejszy – zainteresowanych Czytelników odsyłamy do artykułu Chandlera Davisa i Donalda Knutha [2], opisującego zaskakujące związki smoczych krzywych z systemami pozycyjnymi o podstawie zespolonej. Swoją drogą, Knuth, jako prawdziwy fan smoczej krzywej, ma w domu na ścianie krzywą  ułożoną z 986 własnoręcznie wypalonych ceramicznych kafelków.

Czytelnik, który przeczytał artykuł Krzysztofa Barańskiego w tym numerze, może pokusić się o obliczenie wymiaru fraktalnego smoka Heighwaya. Jak pokazaliśmy, smocza krzywa ma strukturę rekurencyjną: składa się z dwóch krzywych mniejszych rzędów. Tak więc na  składają się dwie kopie  przeskalowane o czynnik  Z tego wynika podobna własność smoka Heighwaya: jest on sumą dwóch swoich kopii o rozłącznych wnętrzach, przy podobieństwie o skali  (Rys. 6). To powoduje, że wymiar smoka  musi spełniać równanie

Miłośników parkietaży ucieszy zapewne fakt, że smokiem można pokryć płaszczyznę – i to na wiele sposobów!