Co to jest?

Przestrzeń metryczna

Jeżeli każdej parze elementów danego zbioru (nazwijmy go $M$ ) przypiszemy odległość, zwaną także metryką (oznaczamy ją przez $|%$ ), to powstanie przestrzeń metryczna $|(M; %):$

Zauważmy, że w otaczającym nas świecie spotykamy inne sposoby mierzenia odległości niż sugerowany przez Euklidesa. Faktyczna odległość, jaką trzeba pokonać w mieście z punktu $|A$ do $B, |$ na ogół ma niewiele wspólnego z odcinkiem łączącym te punkty (na rysunku obok szare kwadraty można postrzegać jak budynki, a biała przestrzeń to ulice między nimi). Nawet podróżując samolotem, nie przemieszczamy się nigdy po najkrótszej trasie - nie istnieją podziemne międzykontynentalne tunele. Dodatkowo piloci są zobowiązani do poruszania się tzw. korytarzami, a nie np. wzdłuż okręgu przechodzącego przez Warszawę i Nowy York, którego środkiem jest środek kuli ziemskiej.

Odległość przypisana każdej parze elementów ze zbioru $|M$ nie może być bylejaka, musi spełniać następujące warunki:

A.: $|ρ(a,b) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b,$
B.: $|ρ(a,b) = ρ(b,a) ⩾ 0$ dla dowolnych punktów $|a,b ∈M$ (symetria),
C.: $|ρ(a,b) + ρ(b,c)⩾ ρ(a, c)$ dla dowolnych punktów $a,b,c ∈ M$ (nierówność trójkąta).

Postulaty te są dosyć naturalne: odległość między $|a$ i $b$ wynosi zero tylko wtedy, gdy $a,b$ są równe; odległość od $|a$ do $b$ jest równa odległości od $|b$ do $a$ ; odległość od $a$ do $c$ nie jest większa od sumy odległości od $a$ do $|b$ i od $b$ do $c.$ Przykłady przestrzeni metrycznych:

1.: $|M$ to zbiór liczb rzeczywistych, a odległość dwóch liczb to wartość bezwzględna ich różnicy.
2.: $|M$ to zbiór punktów płaszczyzny, a metryka $√ --------2----------2 |ρ ((x1,y1),(x2,y2)) = (x1− x2) + (y1− y2) ,$ czyli "zwykła" (Euklidesowa) odległość. Nazwa "nierówność trójkąta" w tym wypadku oznacza, że suma dwóch boków trójkąta jest nie mniejsza od trzeciego boku (mimo że w przypadku równości trudno mówić o trójkącie).
3.: $|M$ to zbiór punktów płaszczyzny oraz $ρ((x ,y ),(x ,y )) = x − x + y − y . 1 1 2 2 1 2 1 2$ To tzw. metryka miejska. Przemieszczając się z punktu $|(x1,y1)$ do punktu $(x2,y2)$ w mieście, w którym każde dwie ulice są albo równoległe, albo prostopadłe, przebywamy w jednym kierunku drogę $| x1− x2 ,$ a w prostopadłym $| y −y . 1 2$ Całkowita odległość to suma długości tych tras. Przykładowe najkrótsze trasy między punktem $|A$ i $B, |$ w tej właśnie metryce, zostały przedstawione na rysunku przerywaną linią.
4.: $|M$ to zbiór punktów płaszczyzny, a $ρ((x1,y1),(x2,y2)) = max( x1 −x2 , y1 −y2 ).$
5.: Podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną - mnóstwo przykładów za darmo.
6.: Przestrzenią metryczną jest wstęga Möbiusa (jako podzbiór przestrzeni trójwymiarowej), na której można zdefiniować wiele sposobów mierzenia odległości. Metryką między punktami na tej wstędze może być np. długość najkrótszej (w zwykłym sensie) trasy między nimi, poprowadzonej po powierzchni tej wstęgi.
7.: Niech $M$ będzie dowolnym zbiorem. Przyjmując, że odległość punktu od siebie równa jest $|0,$ a odległość różnych punktów to $|1,$ dostajemy tzw. przestrzeń dyskretną.
8.: Niech $M$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ograniczonych o wartościach rzeczywistych (których dziedziną jest $|X$ ). Odległość $|ρ( f,g)$ między funkcjami $f$ i $|g$ definiujemy jako najmniejsze ograniczenie górne (kres górny) zbioru złożonego ze wszystkich liczb postaci $| f(x) − g(x) ,$ gdzie $. x ∈X$ Np. niech $=[−3,3] |X ,$ wtedy $|ρ(x2 +1,x2) = 1,ρ(x + 3,x −2) = 5,ρ(x2,x −2) = 14.$
9.: Niech $|M$ oznacza zbiór złożony ze wszystkich funkcji ciągłych na przedziale $[a,b],$ których wartościami są liczby rzeczywiste. Definiujemy metrykę $|ρ( f,g)$ jako pole powierzchni $| f − g$ nad przedziałem $|[a, b].$

W górach "odległość" podaje się zazwyczaj jako przewidywany czas przejścia trasy - 500 metrów spaceru po płaskim jest dużo "bliżej" niż 500 metrów spaceru pod górę. Zauważmy, że taka górska odległość nie definiuje metryki. Nie jest prawdą, że wejście na Gubałówkę zajmie nam tyle samo czasu, co zejście z niej tą samą trasą (nie zachodzi warunek B).

Metryki z punktów 2, 3, 4 są równoważne, co oznacza, że stwierdzenie $|lnim ∞ ρ(pn,p) = 0$ nie zależy od tego, którą z nich mamy na myśli. To samo dotyczy analogicznie zdefiniowanych metryk w przestrzeniach wielowymiarowych. Jeśli rozważymy metryki z punktów $|8$ i $|9$ w zbiorze funkcji ciągłych na przedziale $| [0,2],$ to jest już inaczej. Niech $| fn(x) = nx,$ gdy $1 |0⩽ x ⩽ n, fn(x) = 2 − nx,$ gdy $1 2 n ⩽ x ⩽ n,$ oraz $fn(x) = 0,$ gdy $|2n⩽ x ⩽ 2.$ Mamy $ρ ( fn,0) = 1n$ - to pole trójkąta o wysokości $|1$ i podstawie $|2. n$

Stąd wynika, że w sensie metryki z przykładu 9. granicą ciągu $( fn)$ jest funkcja tożsamościowo równa 0. Natomiast odległością funkcji $fn$ od funkcji tożsamościowo równej zero w sensie metryki z przykładu 8. jest liczba 1, więc ciąg $( fn)$ nie jest zbieżny do funkcji zerowej względem tej metryki. Można wykazać, że w tej przestrzeni ciąg $|( fn)$ granicy w ogóle nie ma.

W przestrzeniach metrycznych prawdziwe są różne twierdzenia o ciągach zbieżnych i funkcjach ciągłych. Można je dowodzić tylko raz, zamiast w każdym przypadku osobno. W istocie rzeczy nie zostały one wymyślone, lecz odkryte. Pojawiały się w dowodach różnych twierdzeń, np. o istnieniu rozwiązań równań algebraicznych, funkcyjnych, różniczkowych - i w końcu podano definicję ogólną.

Przestrzeniami metrycznymi są także butelka Kleina, przestrzenie rzutowe, przestrzenie Łobaczewskiego i wiele, wiele innych.