Rys. 1 Schemat zjawiska wielokrotnego odbicia dla kąta między zwierciadłami równego

Fot. 1 Kąt między zwierciadłami jest równy Kredka leżąca w obszarze zacieniowanego klina ma dwa obrazy, kredka położona poza klinem - trzy.

Rozważmy więc dwa zwierciadła stykające się wzdłuż pewnej krawędzi, przed którymi znajduje się oglądany przedmiot, który dla wygody utożsamimy z pojedynczym punktem. Oznaczmy przez kąt, jaki tworzą odbijające płaszczyzny zwierciadeł. Możemy przyjąć, że zachodzi gdyż dla kątów większych od odbicia wielokrotne nie mogą wystąpić, a dla mamy po prostu do czynienia z jednym zwierciadłem. Z najprostszym przypadkiem mamy do czynienia dla Promienie wychodzące z przedmiotu ulegają wtedy najmniejszej ilości odbić. Jako przykład wybierzmy Rysunek 1 pokazuje, jak zwierciadło wytwarza obraz przedmiotu a zwierciadło - obraz ; powstają więc dwa obrazy. Promienie odbite trafiają do oka obserwatora (oznaczonego kółkiem) z dwóch kierunków.

Możliwe jest powstanie trzeciego obrazu widocznego dla tego samego obserwatora, gdy promienie padające z punktu odbijają się kolejno od zwierciadeł i Punkt przecięcia przedłużeń promieni wychodzących z układu wyznacza położenie obrazu Jest to możliwe, jeśli kąt odbicia od pierwszego zwierciadła (a więc i kąt padania na nie) jest większy od ( w naszym przykładzie), bo tylko wtedy promień odbity od trafia na zwierciadło Wynika stąd, że trzy obrazy powstają, jeśli punkt przedmiotu należy do obszaru przylegającego do zwierciadła i ograniczonego płaszczyzną tworzącą z nim kąt czyli Zauważmy, że podwójnemu odbiciu ulegają tylko promienie zmierzające ku zwierciadłu natomiast promienie wychodzące z tego obszaru w kierunku zwierciadła odbijają się tylko raz. Oczywiście, istnieje drugi obszar o takich samych właściwościach przyległy do Promienie wychodzące z niego ulegają podwójnemu odbiciu, jeśli biegną ku zwierciadłu Widać więc, że promienie pochodzące z każdego z tych dwóch obszarów mogą wytworzyć trzy obrazy: dwa powstałe z pojedynczych odbić od każdego lustra i jeden powstały w wyniku dwukrotnego odbicia. Jeśli natomiast przedmiot znajduje się pomiędzy wyróżnionymi płaszczyznami, czyli należy do obszaru w kształcie klina określonego kątem (tu: ), to możliwe są tylko dwa pojedyncze odbicia. Z ostatniego wzoru wynika, że dla kąt a więc klin zastąpiony jest płaszczyzną dzielącą obszar między lustrami na połowy. Punkt przedmiotu dowolnie położony poza tą płaszczyzną ma trzy obrazy.

Rys. 2 Schemat zjawiska wielokrotnego odbicia dla kąta między zwierciadłami równego

Fot. 2 Kąt między zwierciadłami jest równy Widać po trzy obrazy każdej z kredek. Kredka położona w obszarze zacieniowanego klina może mieć jeszcze jeden obraz, ale jest on niewidoczny z wybranego miejsca obserwacji.

Jeśli kąt jest mniejszy od lecz nadal jest rozwarty, to również można wyróżnić takie obszary między lustrami, że promienie z nich wychodzące ulegają różnej ilości odbić. Rysunek 2 ilustruje to dla Podobnie jak poprzednio promień wychodzący z wybranego punktu odbija się dwa razy, jeśli pierwszy kąt odbicia spełnia warunek czyli Płaszczyzna ograniczająca zbiór takich punktów przylegający do zwierciadła tworzy z tym zwierciadłem kąt Punkty przedmiotu należące do tego obszaru mają więc trzy obrazy, tak jak w poprzednim przykładzie. Drugi obszar, utworzony przez punkty o tej samej własności, przylega do zwierciadła i ma wielkość określoną takim samym kątem. Oba obszary pokrywają się częściowo. Część wspólna tworzy klin o rozwartości Każdy punkt tego klina ma cztery obrazy: dwa powstałe po pojedynczych odbiciach i dwa utworzone w wyniku podwójnych odbić w obu zwierciadłach. Rysunek 2 ilustruje także fakt, że nie wszystkie obrazy są widoczne z jednego miejsca: obserwator nie może zobaczyć obrazu Klin powiększa się, gdy maleje, i przy zajmuje cały obszar między zwierciadłami, tj. Jednak przy tym szczególnym kącie oba obrazy uzyskane przez podwójne odbicia dokładnie się pokrywają, tzn. więc każdy punkt przedmiotu ma tylko trzy obrazy.

Rys. 3 Schemat zjawiska wielokrotnego odbicia dla kąta między zwierciadłami równego

Fot. 4 Liczba obrazów która powstaje przy danym kącie Kolorowe linie i punkty dotyczą przedmiotów położonych w obrębie klina, a czarne linie - poza klinem.

Gdy kąt między lustrami jest mniejszy od to podwójne odbicie od każdego zwierciadła zachodzi dla każdego punktu położonego między zwierciadłami. Powstają więc zawsze co najmniej cztery obrazy. Ponadto pojawia się możliwość trzykrotnego odbicia zilustrowana dalej na rysunku 3 dla Trzecie odbicie, wytwarzające obraz jest możliwe, jeśli promień z punktu przedmiotu pada np. na zwierciadło pod kątem odbija się, dociera do i po drugim odbiciu skierowany jest ku zwierciadłu tj. pada na nie pod kątem mniejszym od Wspomagając się rysunkiem 3, można wykazać, że kąty i są powiązane relacją W granicznym przypadku relacja ta określa kąt (w naszym przykładzie równy ), który wyznacza szerokość kątową obszaru przyległego do zwierciadła złożonego z punktów wysyłających promienie odbijające się trzykrotnie. Drugi taki obszar przylega do zwierciadła Pomiędzy tymi obszarami utworzony jest klin o rozwartości Punkty mieszczące się w klinie mają po cztery obrazy, a te na zewnątrz klina - po pięć. Klin zmniejsza się, gdy maleje i redukuje się do płaszczyzny dwusiecznej dla

Analogiczne rozważania kontynuowane dla coraz mniejszych kątów dają podobne wyniki, pokazując podział przestrzeni między lustrami na obszary, którym odpowiadają różne liczby obrazów. Ogólnie liczba obrazów rośnie, gdy maleje, i zmierza do nieskończoności, gdy zwierciadła stają się równoległe. Wszystkie one, jak również obserwowany przedmiot, leżą na okręgu o środku położonym na wspólnej krawędzi zwierciadeł.

Wyróżniają się kąty, których pewne wielokrotności stanowią kąt pełny, tj. gdzie jest liczbą naturalną. Liczba obrazów powstających dla tych kątów dana jest wzorem Wzór ten jest słuszny tylko dla punktów mieszczących się w obszarach w kształcie klina lub na płaszczyźnie dwusiecznej, do której kurczy się on dla pewnych kątów Tabela zawiera także wartości dla przykładowych kątów wybranych z przedziałów zawartych między wartościami Liczba oznacza liczbę obrazów punktów znajdujących się poza klinem.