Nawijamy, odwijamy

Jaką długość ma linia śrubowa owijająca dwukrotnie walec o promieniu 1 i wysokości 4, tak jak widać na obrazku? Oczywiście, $√ -2---- 4 ß + 1:$ Aby przekonać się, że rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na obrazek z prawej - jeśli nawiniemy go na walec, to otrzymamy obrazek z lewej.

To elementarne, Watsonie!

Wobec tego zapytajmy teraz o to, jaką długość ma jeden okres sinusoidy (czyli od jakiegoś kąta $| γ$ do kąta $| γ +2π$ ), bo tego nie ma w poradnikach.

Oczywiście, nie podamy konkretnej liczby, tylko wskażemy inną linię tej samej długości - jest nią elipsa o osiach długości 2 i $| √-- 2 2.$ W tym celu wystarczy zauważyć, że jeśli walec o promieniu 1 (ten sam co poprzednio!) owiniemy papierem, a następnie przetniemy płaszczyzną tworzącą z jego osią kąt $|π- 4,$ to obie otrzymane części papieru po rozwinięciu będą miały jeden z brzegów dokładnie sinusoidalny. To też nietrudno obliczyć. A przecięcie walca płaszczyzną to elipsa (czasami będąca okręgiem). Możemy nawet obliczyć, co otrzymamy przy dowolnym przecięciu owiniętego walca płaszczyzną. Przyjmijmy oznaczenia z rysunku na marginesie. Niech $|S$ będzie środkiem koła dzielącego na pół elipsę otrzymaną z przecięcia walca płaszczyzną tworzącą z osią walca kąt $φ.$ Ograniczający to koło okrąg przetnie elipsę w dwóch punktach będących końcami jego średnicy - jeden z nich oznaczmy przez $A.$

Płaszczyzna elipsy i płaszczyzna koła tworzą kąt dwuścienny o rozwartości $π |--− φ, 2$ czyli gdy poprowadzimy z dowolnego punktu prostej $AS$ proste do niej prostopadłe w obu tych płaszczyznach, taki też będzie kąt między nimi.

Niech teraz $P$ będzie dowolnym punktem elipsy. Zrzutujmy go prostopadle na okrąg, otrzymując punkt $|R,$ który z kolei zrzutujemy prostopadle na $AS,$ otrzymując punkt $Q.$

Mamy zatem $|AS = RS = 1$ i $|?RQP$ ; oznaczmy też $π a = tg(-− φ) 2$ oraz $| α = ?ASR$ - jest to zarazem długość łuku (po rozwinięciu papieru - odcinka) $|AR.$

Bez trudu zauważamy, że $| PR = a sin α,$ co oznacza, że po rozwinięciu przeciętego papieru otrzymamy wykres sinusa, którego wartości zostały pomnożone przez $a.$ Oryginalną sinusoidę otrzymamy dla $a = 1,$ czyli gdy $| π- φ = 4.$

Dla $a = 1$ i $α = π- 2$ odcinek $|PS$ (czyli dłuższa półoś elipsy) będzie miał długość $√ -- | 2.$ Krótszą osią elipsy będzie średnica okręgu.

Prawda, że nie bolało?