Deltoid

Desargues i nożyce

W geometrii rzutowej przyjmujemy, że każde dwie proste równoległe przecinają się w pewnym ustalonym punkcie w nieskończoności, odpowiadającym ich kierunkowi, oraz że wszystkie takie punkty w nieskończoności tworzą prostą ("horyzont"). Poniżej przedstawiamy przykłady pojęć i twierdzeń rzutowych oraz ich zastosowań; dopuszczamy w nich takie właśnie punkty przecięcia "na horyzoncie".

Dane są trójkąty $ABC$ oraz $A′B′C′$ (Rys. 1). Jeśli proste $AA′,BB ′,CC′$ przecinają się w jednym punkcie $S,$ to punkt ten nazywamy środkiem perspektywicznym danych trójkątów. Jeśli punkty $| ′ ′ ′′ ′′ AB ∩AB ,BC∩ B C,CA∩CA$ leżą na jednej prostej $k,$ to nazywamy ją osią perspektywiczną danych trójkątów.

Twierdzenie (Desarguesa). Dwa trójkąty mają środek perspektywiczny wtedy i tylko wtedy, gdy mają oś perspektywiczną.

Każda taka płaska konfiguracja jest rzutem pewnej konfiguracji trójwymiarowej, można więc dowodzić tego twierdzenia przestrzennie (dowód w jedną stronę opisano w deltoidzie 5/2010).

Twierdzenie (O nożycach.). Pęk prostych o wierzchołku $| S$ przecięto dwiema prostymi, po czym narysowano przekątne uzyskanych w ten sposób czworokątów, jak na rysunku 2. Wówczas kolorowe punkty są współliniowe.

Dowód. Trójkąty $| ′ BAC$ i $|′ ′ ABC$ mają środek perspektywiczny $| S,$ więc z twierdzenia Desarguesa mają też oś perspektywiczną, co kończy dowód dla pęku trzech prostych. Gdy jest ich więcej, wystarczy rozważać kolejne trójki spośród nich.

Delta mi!

Deltoid

Desargues i nożyce

Zadania domowe