Rys. 1 Kolejne sześciany -wymiarowe. Na czarno i szaro narysowano poprzedni sześcian i jego drugi egzemplarz, kolorem zaznaczono ślad przy przesuwaniu.

Przyjrzyjmy się dobrze znanym sześcianom zero-, jedno-, dwu- i trójwymiarowym. Sześcian zerowymiarowy to punkt – jeden wierzchołek. Sześcian jednowymiarowy to odcinek – dwa wierzchołki połączone krawędzią. Sześcian dwuwymiarowy to kwadrat – dwa odpowiednio połączone odcinki.

Można sobie wyobrażać, że sześcian -wymiarowy powstaje z sześcianu -wymiarowego przez przesunięcie go w  -tym wymiarze (Rys. 1). Ma więc dwukrotnie więcej wierzchołków, krawędzi i ścian każdego wymiaru (odpowiadających początkowemu i końcowemu położeniu przesuwanego sześcianu), a dodatkowo ma krawędzie i ściany otrzymane jako ślady przy przesuwaniu. Wierzchołek jako swój ślad pozostawia krawędź, śladem krawędzi jest ściana dwuwymiarowa i ogólniej, śladem ściany -wymiarowej jest ściana -wymiarowa.

Istotnie, sześcian trójwymiarowy, otrzymany jako przesunięcie przedniej kwadratowej ściany tak, by uzyskać tylną, ma:

•  wierzchołków (dwukrotność tego, co kwadrat),
•  krawędzi (dwukrotność tego, co kwadrat, plus liczba wierzchołków kwadratu – powstały z nich krawędzie łączące przód i tył),
•  ścian dwuwymiarowych (dwukrotność tego, co kwadrat, plus liczba krawędzi kwadratu – powstały z nich ściany górna, dolna, prawa i lewa),
• jedną ścianę trójwymiarową (wnętrze, otrzymane jako ślad wnętrza przesuwanego kwadratu).

Rys. 2 – wymiar sześcianu, – liczba wierzchołków, – krawędzi, – ścian -wymiarowych.

Podsumowując, stwórzmy tabelę (Rys. 2). Wartości w kolejnym wierszu powstają przez podwojenie poprzednich i dodanie do tego poprzednich przesuniętych o jedno miejsce. Tą metodą otrzymujemy ostatni z wypisanych wierszy, dla sześcianu czterowymiarowego. Podobnie można wyznaczać dalsze wartości, choć szukanie w ten sposób np. liczby 19-wymiarowych ścian w sześcianie 42-wymiarowym byłoby dość nużące.

Sumy liczb w kolejnych wierszach to 1, 3, 9, 27, 81 – potęgi trójki. Tak być musi, bo każdy wyraz poprzedniego wiersza wliczany jest w następnym wierszu trzykrotnie: raz podwojony i jeszcze raz, po przesunięciu, dodany.

Na przemian dodając i odejmując wyrazy, uzyskujemy w wierszach 1,  Czy dalej też wychodzi 1?

Rozważmy wielomiany Dla mamy:

Następny wiersz powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie przez  czyli pomnożenie poprzedniego wiersza przez 2 oraz dodanie do tego poprzedniego wiersza pomnożonego przez  a więc „przesuniętego”.

Współczynniki wyżej wypisanych wielomianów są takie same, jak liczby w początkowych wierszach tabeli z rysunku 2 W następnych wierszach też uzyskamy tutaj takie same liczby, jak tam, bo procedura ich tworzenia jest identyczna. Stąd

liczba -wymiarowych ścian w  -wymiarowym sześcianie to współczynnik przy  w wielomianie  czyli

Sześcian 42-wymiarowy ma więc

ścian 19-wymiarowych.

Suma liczb w  -tym wierszu rysunku 2 to suma współczynników wielomianu  czyli jego wartość dla  a więc

Z kolei naprzemienna suma liczb z  -tego wiersza to wartość tego wielomianu dla  czyli  zatem faktycznie zawsze równa jest 1.