Powierzchnie: zajęcia praktyczno–techniczne

Wstęgą Möbiusa nazywamy powierzchnię z brzegiem otrzymaną z prostokąta w wyniku sklejenia jednej pary jego przeciwległych boków w pewien sposób...

Zauważmy, że brzeg wstęgi Möbiusa jest pojedynczą krzywą zamkniętą. W przyszłości potrzebna nam będzie następująca obserwacja: odcinając od wstęgi Möbiusa cienki pierścień, przylegający do jej brzegu, otrzymujemy znowu wstęgę Möbiusa (patrz rysunek 1c).

Torusem nazywamy powierzchnię bez brzegu otrzymaną z prostokąta (lub innego równoległoboku) przez sklejenie dwóch par przeciwległych boków w sposób zaznaczony na rysunku 2a. W „przyrodzie” torus pojawia się m.in. jako powierzchnia dętki samochodowej albo amerykańskiego pączka (Rys. 2b).

Jaką powierzchnię otrzymujemy, sklejając trzy pary przeciwległych boków sześciokąta foremnego, w sposób zaznaczony na rysunku 3? Jeśli wykorzystamy sześciokątną siatkę na płaszczyźnie, to przekonamy się, że otrzymujemy torus. Mianowicie, dzielimy sześciokąt na cztery części (patrz rysunek 4) i przeklejamy je zgodnie z siatką, otrzymując równoległobok z odpowiednimi sklejeniami.

Ten artykuł jest poświęcony dowodowi następującego lematu, który jest ważnym elementem klasyfikacji powierzchni. Zainteresowanym zastosowaniem tego lematu do twierdzenia klasyfikacyjnego polecamy rozdział 12.4 książki R. Engelkinga i K. Siekluckiego Geometria i topologia, część II. Tych, którzy z poniższym lematem się już zetknęli, zachęcamy do porównania naszego dowodu z dowodem, który znają.

Lemat. Po wycięciu z torusa koła i przyklejeniu do otrzymanej powierzchni wzdłuż brzegu wstęgi Möbiusa otrzymamy tę samą powierzchnię, co po wycięciu ze sfery trzech kół i wklejeniu na ich miejsce trzech wstęg Möbiusa.

Dowód. Krok I. Zauważmy, że powierzchnia otrzymana ze sfery przez wycięcie trzech kół i wklejenie na ich miejsce trzech wstęg Möbiusa powstaje z sześciokąta foremnego po sklejeniu jego boków w sposób przedstawiony na rysunku 5a: trzy wstęgi Möbiusa zaznaczone są na rysunku 5b (gdzie każdy bok sześciokąta został podzielony na trzy odcinki równej długości).

Pozostawiamy Czytelnikowi przekonanie się, że po usunięciu tych trzech wstęg Möbiusa dostajemy sferę z wyciętymi trzema kołami.

Krok II. Dzielimy sześciokąt z poprzedniego kroku (rysunek 5a) na trzy części jak na rysunku 6a i sklejamy je wzdłuż fragmentów ich brzegu pochodzących z brzegu wyjściowego sześciokąta. Rezultat dwóch z tych klejeń widzimy na rysunku 6b (jedną z części odwróciliśmy na drugą stronę). Po wykonaniu trzeciego klejenia otrzymujemy wstęgę Möbiusa, na której brzegu zaznaczono, które fragmenty należy skleić, by otrzymać wyjściową powierzchnię, patrz rysunek 6c.

Krok III. We wstędze Möbiusa, otrzymanej w poprzednim kroku, rozważamy teraz cienki pierścień przyległy do brzegu. Dzięki obserwacji z początku artykułu powierzchnia, którą badamy, powstaje z tego pierścienia przez doklejenie do jednej składowej jego brzegu wstęgi Möbiusa i sklejenie drugiej składowej jego brzegu tak, jak brzegu wstęgi Möbiusa z rysunku 6c, patrz rysunek 7 Jeśli ten rysunek porównamy z rysunkiem 3, to stwierdzimy, że nasza powierzchnia jest torusem, z którego wycięliśmy koło i zastąpiliśmy wstęgą Möbiusa, co kończy dowód.