Algebraik odpowie: to grupa Kleina, czteroelementowa grupa niecykliczna.
Geometra stwierdzi, że to grupa izometrii własnych prostokąta, czyli sposobów położenia banknotu na jego obrysie.

Słowo grupa jest dobrze dobrane do naszych słów. Faktycznie, dopisywanie jednego do drugiego można traktować jak działanie (będziemy o nim mówić: mnożenie). Elementem neutralnym jest wtedy 1, a elementem przeciwnym do  jest  Łączność dopisywania nie wymaga uzasadnień. Zatem nasze słowa przy dowolnym wyborze zbiorów liter tworzą grupę.

W tej terminologii wszystkie litery są inwolucjami (czyli są odwrotne do siebie) i dlatego takie grupy nazywają się inwolutywne.

Grupy takie mogą się różnić nie tylko zbiorami liter, ale też dodatkowymi warunkami pozwalającymi (jak w powyższym przykładzie) skracać słowa.

Fanaberia Leibniza, czyli motywacja historyczna

Gottfried Friedrich Wilhelm Leibniz (1646-1716) ogromną wagę przywiązywał do języka, w jakim formułuje się prawa każdej z dyscyplin nauki – twierdził, że każda dyscyplina powinna mieć własny. W szczególności twierdził, że geometria analityczna to odrażająca hybryda: do geometrii używa się języka algebry. W geometrii można liczyć, ale na obiektach geometrycznych – twierdził.

Nikt nie brał tego postulatu poważnie, aż pod koniec XIX wieku Juhasson Hjelmslev (1873-1950) stwierdził, że można rachować na podprzestrzeniach, utożsamiając je z symetriami względem tych podprzestrzeni. Przyjrzyjmy się temu na płaszczyźnie.

Co dla różnych prostych  i   oznacza napis  Chwila namysłu pozwoli nam zauważyć, że złożenie dwóch symetrii osiowych to przesunięcie (ale wtedy obie strony oznaczałyby przesunięcia w przeciwnych kierunkach) lub obrót. Zatem rozważana równość to stwierdzenie, że dwa obroty o ten sam kąt, ale o przeciwnym zwrocie, są równe: co to za kąt? Oczywiście, kąt półpełny! Zatem proste muszą tworzyć kąt o połowę mniejszy, czyli są prostopadłe.

Proste spełniające podany warunek mają jeszcze i tę własność, że dla pewnego punktu (nie ukrywajmy – punktu ich przecięcia) mamy równość  bo przecież obrót o kąt półpełny to symetria względem środka obrotu.

Rys. 1 Oba przekształcenia to symetrie z poślizgiem (czyli złożenia symetrii z przesunięciem o wektor równoległy do jej osi). Że przesunięcia są przeciwne, łatwo zauważyć pisząc  Jeśli to obustronnie pomnożymy przez (i   zniknie), to otrzymamy  czyli dwa przeciwne przesunięcia.

Co wobec tego oznacza napis  Spójrzmy na rysunek 1. Dobierając proste  i   tak, by było  oraz  otrzymujemy  a więc prawa strona badanej równości to złożenie symetrii względem  z przesunięciem o wektor  podczas gdy lewa to złożenie przesunięcia o   z symetrią względem  To jest to samo tylko wtedy, gdy  czyli badany napis oznacza, że leży na

Można by zatem – wobec tych obserwacji – podejrzewać, że za pomocą wprowadzonych na początku słów potrafimy w szczególności opisać geometrię płaszczyzny. I tak jest w istocie.

Kończąc dygresję historyczną, wypada powiedzieć, że kluczowym pojęciem pozwalającym na zrealizowanie fanaberii Leibniza było wyróżnienie zbioru liter przemiennych z daną literą –  oznaczać będzie dalej zbiór liter przemiennych z   To pojęcie wprowadził i zastosował Arnold Schmidt (1902-1967), a sprawę doprowadził do końca Friedrich Bachmann (1909-1982).

Nauka obcego języka

Wiemy już, co w geometrii płaszczyzny oznacza  a co  Aby zobaczyć, jak wygląda tak opisywana geometria, trzeba przejść przynajmniej krótkie samokształcenie w używaniu leibnizowskiego języka.

Proszę odpowiedzieć na pytanie, co oznaczają następujące napisy:

Odpowiedzi znajdują się w numerze, ale proszę się postarać samodzielnie odczytać znaczenia. Wtedy stanie się jasne, że zmiana języka to poniekąd zmiana patrzenia na świat: to, co w uświęconym tradycją klasycznym szkolnym języku geometrii wyraża się prosto, tu może wyrażać się bardziej zawile, ale jest i odwrotnie – trudno formułowalne w języku klasycznym sytuacje po leibnizowsku niejednokrotnie będą bardzo proste.

Choćby taki fakt: słowo  daje się zawsze zastąpić słowem dwuliterowym i wynikający stąd natychmiast wniosek, że każde słowo ma odpowiednik co najwyżej trzyliterowy. Co to znaczy geometrycznie? I jak to udowodnić?

Okazuje się, że w tej sprawie kluczowy (i wystarczający) jest fakt:

Przesłanki powyższego zdania klasycznie brzmią: są współpękowe (prawda?). Ale takie spojrzenie pozwala nam na naturalne uogólnienie, że zbiór liter nazwiemy pękiem, gdy każdy trzyliterowy napis złożony z liter należących do tego zbioru da się zastąpić napisem jednoliterowym. Proszę sprawdzić, że punkty przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru tworzą pęk (jak by to brzmiało klasycznie?).

Czasami tłumaczenie bywa twórcze. Na przykład zdanie, które orzeka, że dla dowolnych liter  zachodzi

pełni rolę tzw. słowa Banacha, czyli pozwala stwierdzić, że w grupie izometrii płaszczyzny euklidesowej nie istnieją podgrupy wolne, co m.in. wyklucza paradoksalny rozkład na płaszczyźnie. Oryginalne słowo Banacha to twierdzenie:

Które sformułowanie jest prostsze?

Kolejny przykład to

Chasles wyrażał to w następujący sposób:

(Równoważność obu sformułowań była już obecna w tekście tego artykułu).

Argumentem za tym, że pierwsze ze sformułowań jest bardziej nośne, może być fakt, iż Bachmann pod jego inspiracją stworzył odrębny dział teorii grup: grupy biinwolutywne, czyli takie, w których każdy z elementów jest inwolucją lub złożeniem dwu inwolucji. Do badania tego rodzaju obiektów może zachęcić spostrzeżenie, że

czy jeszcze bardziej niespodziewane, że biinwolutywna jest też grupa bijekcji dowolnego zbioru.

Rys. 2

Rys. 3

Czy odmienny punkt widzenia pozwala zobaczyć coś nowego

Podam przykład problemu łatwego w stylu leibnizowskim i trudnego w stylu klasycznym. Co więcej – klasycznie trudno było nawet wpaść na pomysł, że taka prawidłowość może mieć miejsce.

---

***

Pełny i zaawansowany wykład demonstrujący wykorzystanie tego języka można znaleźć w monografii Bachmanna Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegrieff, Springer, 1959. Ale jest pytanie, czy ktoś normalny, a zatem niebędący zawodowym matematykiem, z tego języka korzysta. Okazuje się, że tak – program geometrii w szkołach niemieckich korzysta z tego języka. Możemy się o tym przekonać, zaglądając do wydanego przez Prószyńskiego poradnika pod nazwą Atlas matematyki, będącego tłumaczeniem szkolnego poradnika używanego w Niemczech – geometria w nim jest mocno odmienna od tej, jaką znamy ze szkoły.