Deltoid

Środek ciężkości

Delta, listopad 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2011
Wersja do druku [application/pdf]: (83 KB)

Środek ciężkości to - intuicyjnie - taki punkt, w którym trzeba coś podeprzeć, by owo coś utrzymało się w równowadze. Można go własnoręcznie poszukać na przykład dla długopisu, balansując nim poziomo na palcu.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Środek ciężkości»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Czy istnieje wielościan wypukły, w którym żaden rzut środka ciężkości na płaszczyznę zawierającą ścianę nie należy do tej ściany?

Rozwiązanie

Jeśli rzut środka ciężkości wielościanu wypukłego nie należy do ściany, na której on stoi, to wielościan ten przewraca się. Gdyby istniał opisany w zadaniu wielościan, przewracałby się w nieskończoność. Ale to jest niemożliwe.

Fakt 1. Dla punktów $1,...,Xn X$ z masami odpowiednio $1,...,mn>0 |m$ istnieje dokładnie jeden środek ciężkości $1,m1),...,(Xn,mn))S = S((X$ i jedynie on spełnia warunek $−−−−−− 1⋅SX1+...+mn⋅SXn=0.m$ W szczególności $1,m1),(X2,m2))S((X$ to jedyny taki punkt $S$ na prostej $1X2, X$ że $|−−SX m. −−−SX = m 1221$

Fakt 2. Jeśli część spośród rozważanych punktów zastąpić ich środkiem ciężkości z masą równą sumie ich mas, to środek ciężkości całego układu nie zmieni się.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Wykaż, że środkowe trójkąta przecinają się w środku ciężkości jego wierzchołków.

Rozwiązanie

Umieśćmy w wierzchołkach $\text{[math]}$ równe masy $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ to środek $\text{[math]}$ . Środek ciężkości trójkąta $\text{[math]}$ leży na środkowej $\text{[math]}$ ; analogicznie leży na pozostałych środkowych. Ponadto $\text{[math]}$ czyli środkowe dzielą się w stosunku $\text{[math]}$ licząc od wierzchołka.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Udowodnij, że środkiem ciężkości obwodu trójkąta jest środek okręgu wpisanego w trójkąt utworzony przez środki jego boków.

Wskazówka

Każdy bok zastąpmy punktem w jego środku z masą odpowiadającą jego długości. Jaki trójkąt tworzą te punkty? Jeśli punkt $\text{[math]}$ na boku $\text{[math]}$ trójkąta $\text{[math]}$ spełnia $\text{[math]}$ to jest spodkiem dwusiecznej $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

W wierzchołkach trójkąta ostrokątnego $\text{[math]}$ umieszczono masy odpowiednio $\text{[math]}$ Wykaż, że ich środkiem ciężkości jest ortocentrum $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Jeśli $\text{[math]}$ jest wysokością $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Stąd

display-math

czyli $\text{[math]}$ Szukany środek ciężkości leży więc na $\text{[math]}$ i analogicznie na wysokościach z $\text{[math]}$ i z $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Trzy muchy o równych masach i zaniedbywalnych rozmiarach spacerują po obwodzie trójkąta, jedna z nich przeszła cały obwód. Wykaż, że jeśli środek ciężkości much nie zmienia położenia, to pokrywa się ze środkiem ciężkości trójkąta.

Rozwiązanie

Rozważmy moment, gdy mucha, która przeszła cały obwód, jest w wierzchołku $\text{[math]}$ trójkąta. Środek ciężkości pozostałych dwóch much jest w środku $\text{[math]}$ odcinka pomiędzy nimi (Rys. a). Środek ciężkości $\text{[math]}$ wszystkich much jest na odcinku $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ czyli $\text{[math]}$ Stąd $\text{[math]}$

Analogiczne rozumowanie dla wierzchołków

\text{[math]}

\text{[math]}

prowadzi do wniosku, że jedynym możliwym położeniem

\text{[math]}

jest środek ciężkości trójkąta (Rys. b)

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Wykaż, że wszystkie osie symetrii wielokąta przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Każda oś symetrii wielokąta przechodzi przez środek ciężkości $\text{[math]}$ jego wierzchołków, bo obrazem $\text{[math]}$ w symetrii względem takiej osi jest on sam.

Zadania do domu

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Środek ciężkości»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Udowodnij, że w dowolnym czworościanie odcinki łączące wierzchołki ze środkami ciężkości przeciwległych ścian przecinają się w jednym punkcie.

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 8

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Czy dla dowolnego punktu $\text{[math]}$ wewnątrz trójkąta można w jego wierzchołkach umieścić takie masy, by ich środek ciężkości był w $\text{[math]}$ ?

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Środek ciężkości»Zadanie 9

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Środek ciężkości
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 01-11-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (83 KB)

Na płaszczyźnie danych jest sześć punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Środek ciężkości trójkąta utworzonego przez pewne trzy z nich oznaczmy jako $\text{[math]}$ zaś środek ciężkości trójkąta utworzonego przez pozostałe trzy – jako $\text{[math]}$ Wykaż, że wszystkie tak wyznaczone proste $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności