Deltoid

Warto dobrze ustawić

Delta, czerwiec 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (84 KB)

W niektórych zadaniach geometrycznych (i nie tylko) warto dobrze coś ustawić, aby łatwiej rozwiązać problem. Poniżej podaję szereg tego rodzaju przykładów.

Większość z nich można rozwiązać „zwyczajnie”, ale jest to droga często bardziej pracochłonna, a nawet żmudna. Odpowiednie, czasem nietypowe ustawienie danej figury lub bryły pozwala znaleźć rozwiązanie krótsze i bardziej pomysłowe. Ocenę, czy także ładniejsze, pozostawiam Czytelnikowi.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

Oblicz wysokość $\text{[math]}$ z wierzchołka $\text{[math]}$ na podstawę $\text{[math]}$ w trójkącie $\text{[math]}$ mając dane $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Ustawmy trójkąt tak, by $\text{[math]}$ było podstawą, i niech $\text{[math]}$ będzie spodkiem wysokości z wierzchołka $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ Ponieważ jednocześnie $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

Ramiona $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ trójkąta równoramiennego $\text{[math]}$ mają długość 1. Dla jakiej podstawy $\text{[math]}$ pole tego trójkąta jest maksymalne?

Rozwiązanie

Ustawmy trójkąt tak, by $\text{[math]}$ było podstawą. Wtedy wierzchołek $\text{[math]}$ leży na okręgu o środku $\text{[math]}$ i promieniu 1. Pole trójkąta jest maksymalne, gdy wysokość z $\text{[math]}$ jest maksymalna (bo podstawa $\text{[math]}$ ma ustaloną długość 1), czyli gdy wysokość ta jest równa 1. Zachodzi to dla $\text{[math]}$ czyli dla $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

Oblicz pole trójkąta o bokach długości $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Rozważmy prostokąt $\text{[math]}$ o bokach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Niech punkt $\text{[math]}$ będzie środkiem boku $\text{[math]}$ a punkt $\text{[math]}$ niech należy do boku $\text{[math]}$ przy czym $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Wtedy z twierdzenia Pitagorasa $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Należy obliczyć pole trójkąta $\text{[math]}$ Jest ono równe $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

W pięciokącie wypukłym $\text{[math]}$ kąty przy wierzchołkach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są proste. Oblicz $\text{[math]}$ jeśli $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Ustawmy trójkąt $\text{[math]}$ obok trójkąta $\text{[math]}$ jak na rysunku ( $\text{[math]}$ oznacza odpowiednik wierzchołka $\text{[math]}$ ). Wtedy w trójkącie $\text{[math]}$ podstawa $\text{[math]}$ ma długość $\text{[math]}$ wysokość $\text{[math]}$ jest równa 1, więc pole jest równe $\text{[math]}$ Pozostałą częścią pięciokąta jest trójkąt $\text{[math]}$ Przystaje on do trójkąta $\text{[math]}$ ponieważ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz bok $\text{[math]}$ jest wspólny. Stąd $\text{[math]}$ więc pole pięciokąta równe jest 1.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

Dany jest ostrosłup trójkątny $\text{[math]}$ Krawędzie podstawy mają długości $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Krawędzie boczne mają długości $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Ściana $\text{[math]}$ jest trójkątem o bokach długości $\text{[math]}$ ma zatem kąt prosty przy wierzchołku $\text{[math]}$ Analogicznie $\text{[math]}$ Ściana $\text{[math]}$ ma boki długości $\text{[math]}$ czyli jest połówką kwadratu o boku 3, więc też ma kąt prosty przy wierzchołku $\text{[math]}$ Ustawmy dany ostrosłup inaczej: niech $\text{[math]}$ będzie podstawą. Wobec powyższych obserwacji $\text{[math]}$ jest wtedy wysokością i $\text{[math]}$ Stąd objętość ostrosłupa to $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Warto dobrze ustawić»Zadanie 6

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Warto dobrze ustawić
Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (84 KB)

Oblicz odległość pomiędzy środkami przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi 1.

Rozwiązanie

Ustawmy czworościan na krawędzi i rozważmy sześcian, którego czterema wierzchołkami są wierzchołki tego czworościanu. Każda z krawędzi czworościanu jest przekątną pewnej ściany sześcianu, zatem krawędź sześcianu ma długość $\text{[math]}$ Środki przeciwległych krawędzi czworościanu są środkami przeciwległych ścian sześcianu, więc ich odległość równa jest długości krawędzi sześcianu.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności