Kepler przytomnie zauważył, że po upływie każdego swojego roku Mars znajduje się w tym samym punkcie przestrzeni, ale obserwowany jest z innego punktu ziemskiej orbity, jako że w tym czasie Ziemia obiega całą swoją orbitę i jeszcze dodatkowy łuk, którego długość łatwo obliczyć, znając różnicę obu okresów. Znając ów łuk, Kepler mógł wyznaczyć długość boku  trójkąta  o wierzchołkach w początkowym położeniu Marsa  początkowym położeniu Ziemi  oraz położeniu Ziemi po upływie marsjańskiego roku  Kąty przy boku  były znane dzięki obserwacjom Brahego, co pozwoliło Keplerowi wyznaczyć przestrzenne położenie Marsa. Powtarzając procedurę dla innych punktów orbity Marsa, Kepler określił kształt całej tej orbity, łącznie z informacją o czasie przejścia przez każdy punkt. Tu był tylko o jeden krok od empirycznego stwierdzenia, że orbita jest elipsą, a Słońce znajduje się w jej ognisku (pierwsze prawo Keplera), i że linia łącząca Słońce z planetą, tzw.  promień wodzący, zakreśla równą część pola orbity w równym czasie (drugie prawo Keplera). Dopiero potem Newton wykazał teoretycznie, że z jego praw dynamiki i prawa grawitacji wynikają prawa Keplera.

Dyskusję zagadnienia ruchu planet w potencjale grawitacyjnym Słońca, czyli tzw. problem Keplera, zazwyczaj przedstawia się dopiero na poziomie studiów uniwersyteckich, mimo że nie wymaga ona używania skomplikowanych pojęć fizycznych ani zaawansowanej matematyki. W tym artykule postaramy się rozwiązać elementarnie problem Keplera – pokazując, że empiryczne prawa Keplera, opisujące ruch planet, są zgodne z prawami dynamiki Newtona.

Wyjdziemy od zwykłego jednostajnego ruchu po okręgu o promieniu  umieszczając środek  tego okręgu w początku układu współrzędnych, tak jak na rysunku obok. Wektor wodzący  punktu  na okręgu można wówczas opisać jako

gdzie  Prędkość ruchu jest styczna do okręgu, a więc prostopadła do promienia, zatem

gdzie przez  oznaczamy tempo zmiany kąta  (prędkość kątową). Oczywiście, pole koła ograniczonego przez rozważany okrąg jest równe 

Jeżeli na płaszczyznę zawierającą opisany wyżej okrąg będziemy patrzeć nie „z góry”, ale „z ukosa”, zobaczymy nie okrąg, ale elipsę o wielkiej półosi  Załóżmy, że patrzymy z takiego kierunku, że wskutek rzutowania współrzędne  ulegają skróceniu o czynnik  gdzie  to długość  a współrzędne  nie zmieniają się. Oczywiście, zmniejszeniu o taki sam czynnik ulegną także składowa  prędkości oraz pole powierzchni elipsy względem odpowiednich wielkości dla okręgu:

gdzie  to wektor  Kąt  nazywamy teraz anomalią mimośrodową. Ogniskami elipsy będą takie punkty  i  na osi  że suma ich odległości od dowolnego punktu elipsy będzie stała i równa  Jeśli długości odcinków  i  są równe  zaś długości odcinków  i  są równe  gdzie  to z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  mamy

(4)

gdzie

(5)

Zauważmy, że rzutowanie zachowuje równoległość wektorów, ale prostopadłości już nie. Wynika stąd w szczególności, że rzutowana prędkość w  pozostaje styczna do toru w  ale nie jest już prostopadła do Jeśli przeniesiemy układ współrzędnych do  (lub ), promień wodzący  ( ) otrzymamy, odejmując od  wektor  (lub ), a prędkość zostanie ta sama:

Powyższe wzory opisują tor zgodny z pierwszym prawem Keplera, tj. elipsę. Obliczając długości  łatwo przekonać się, że odległości  i  punktu  od ognisk  i  wynoszą

(8)

i ich suma rzeczywiście jest stała i równa  Ponadto, ze wzoru (8) wynika, że minimalna odległość od ogniska  wynosząca  jest osiągana w punkcie dla ; punkt ten nazywamy perihelium. Kosinus kąta między prędkością  a promieniem wodzącym  jest proporcjonalny do ich iloczynu skalarnego i odwrotnie proporcjonalny do długości każdego z tych wektorów. Skoro zaś  kąty te dla ognisk  i  są położone symetrycznie względem  Wynika stąd w szczególności, że promień światła wysłany z jednego ogniska i odbity zgodnie z prawami optyki geometrycznej od elipsy trafi w drugie ognisko. W dalszych rozważaniach nie będziemy już się więcej zajmować ogniskiem  i opuścimy indeks

W sposób czysto empiryczny, porównując wartości okresów  i półosi  Kepler odkrył jako trzecie prawo, że  jest stałe. Postać tej stałej znalazł dopiero Newton, pokazując, że

(9)

gdzie  i  to stała grawitacji i masa Słońca. Dopiero z ostatniego wzoru tego artykułu przekonamy się, że właśnie taki wybór stałej jest poprawny. Jednak dla konkretnej planety  i  pozostają stałe i ich związek nie ma znaczenia w rozważaniach ruchu.

Dotąd nie zajmowaliśmy się czasem  w którym jest osiągany punkt  na elipsie, o ile znamy moment  przejścia przez perihelium  To zagadnienie Kepler rozwiązał w oparciu o prawo stałych pól. Cała powierzchnia elipsy  jest zakreślana w czasie jednego okresu  stąd prędkość polowa to  Na podstawie prawa pól Kepler przyjął, że pole  wycinka elipsy zawartego w  jest proporcjonalne do przedziału czasu:  Następnie zauważył, że  To równanie Keplera było kluczem do rozwiązania problemu. Wycinek elipsy  jest rzutem wycinka koła  stąd jego pole jest równe  Z wyznaczeniem pola trójkąta  o znanych współrzędnych wierzchołków uczony poradził sobie bez trudu i ostatecznie przedstawił (w 1619 roku) równanie w postaci  

(10)

gdzie kąt  jest zwany anomalią średnią, a stała proporcjonalności została uwspółcześniona. Czytelnik Wnikliwy może sprawdzić, jaki to stały czynnik uczony uprościł w polach, podając wzór w postaci (10). Ponieważ po okresie obiegu  lewa strona równania (10) rośnie o  zatem to samo robi prawa strona:  Równanie Keplera nie ma rozwiązania analitycznego, ale dla danego  wartość rozwiązania  można szybko obliczyć metodą Newtona. Przyjmując pierwsze przybliżenie rozwiązania, np. jako  lub  następne otrzymuje się ze wzoru

(11)

Dla rosnącego  iteracje są szybko zbieżne do prawdziwego rozwiązania  spełniającego zależność (10).

Posłużymy się równaniem Keplera do obliczenia chwilowej prędkości kątowej  a stąd prędkości liniowej  W tym celu zastanówmy się nad prędkością zmian każdej ze stron wzoru (10). Czynnik z pierwiastkiem jest stały, mamy więc do czynienia z „ruchem jednostajnym” z prędkością  Po lewej stronie wzoru (10) prędkość zmian  jest po prostu  Pozostaje zatem określić prędkość zmian wyrazu  Wybierzmy sobie punkt o współrzędnej  W czasie ruchu stosunek tej współrzędnej do  na elipsie pozostaje stały:  Zatem stosunek tempa ich zmian w czasie  musi być identyczny, więc ze wzoru (7),  Mnożenie przez  odpowiada jedynie zmianie jednostek, zatem prędkość zmian  wynosi  Podsumowując rozważania o prędkościach zmian obu stron równania Keplera, otrzymujemy:

Zatem

(12)

Po drodze otrzymaliśmy użyteczny wzór na  Postępując podobnie dla  i zmian położenia  otrzymujemy odpowiednio:

Czytelnik Wnikliwy zakrzyknie zaraz ze zgrozą, że przed chwilą po prostu wykonaliśmy różniczkowanie. Prawda to, ale korzystaliśmy tu nie tyle z rachunku różniczkowego, co z intymnego związku pochodnej z prędkością. Podstawiając wzór (12) do (7),

(15)

Moment pędu planety o masie  to  gdzie  jest składową prędkości prostopadłą do  W bardzo krótkim przedziale czasu  ruch planety może być traktowany jako prostoliniowy z przesunięciem  tak że zakreślony obszar jest wydłużonym trójkątem o boku  i wysokości  Jego pole to  zatem prędkość polowa  A zatem keplerowskie prawo stałych pól odpowiada newtonowskiemu prawu zachowania momentu pędu, gdy działająca siła nie ma składowej prostopadłej do promienia.

Dla  wzór (6) załamuje się, bo  zatem zawsze  chyba że  staje się wielkie:  Ponadto we wzorze (12) dla  prędkość kątowa staje się wielka,  By uniknąć tych problemów, wyrazimy  i  poprzez składowe jednostkowego wektora kierunkowego  Ze wzorów (6) i (8) mamy  i podobnie  Rozwiązując względem  oraz  mamy

Teraz możemy podstawić (16) i (17) do wzoru (15), otrzymując

(18)

gdzie zamiast  mamy  a potęgi  uprościliśmy. Przy tym nowy kąt  zwany anomalią prawdziwą, wybrano tak, by  i   Taki wzór na prędkość to równanie parametryczne okręgu o środku przesuniętym o  względem środka układu. W tym wzorze nie dzieje się nic osobliwego dla  i można oczekiwać, że stosuje się on do ruchu keplerowskiego po paraboli  i po hiperboli  Przy tym dla paraboli początek układu  leży na obwodzie, czyli prędkość dąży do  dla  Natomiast dla  początek leży poza okręgiem prędkości, zatem prędkość nigdy nie spada do zera, a jej kierunek musi się zawierać w kącie ograniczonym stycznymi do okręgu wyprowadzonymi z początku układu. Z zachowania prędkości polowej wynika, że w perihelium, dla  prędkość ma być największa – zatem tylko dalsza od początku część okręgu pomiędzy stycznymi odpowiada rzeczywistemu ruchowi po hiperboli.

Przyspieszenie  to szybkość zmiany prędkości  Jedyna wielkość zmienna we wzorze (18) to  zatem, wykorzystując równania (14) i (13) dla prędkości zmian tej wielkości, mamy

Prędkość kątową  trzeba wyznaczyć z prędkości polowej  gdzie po prostu  Mamy zatem  stąd  i ostatecznie

(19)

W ten sposób powtórzyliśmy dowód Newtona, że prawa Keplera wymagają ruchu z przyspieszeniem proporcjonalnym do  i skierowanym do obieganego ciała w ognisku elipsy. To, że siła ma być proporcjonalna do  gdzie  to masa planety, wynika z drugiego prawa dynamiki, natomiast proporcjonalność do masy  Słońca (drugiego ciała) wynika z trzeciej zasady dynamiki i założenia symetrii prawa grawitacji względem obu przyciągających się ciał.

W całych rozważaniach popełniliśmy dwie niedokładności: zaniedbaliśmy ruch Słońca wokół środka masy układu dwóch ciał oraz przyciąganie innych planet. Z prawa ciążenia powszechnego wynika przyciąganie się wszystkich ciał układu słonecznego, a nie tylko Słońca i danej planety. Pomijając to, popełniliśmy błąd, wskutek którego rzeczywiste położenie planety na niebie może oscylować względem obliczonego o wielkość tarczy Księżyca. W rachunkach bardziej ścisłych oblicza się poprawki do przestrzennej orbity keplerowskiej lub dopasowuje się chwilową orbitę keplerowską styczną do prawdziwej, zwaną orbitą oskulacyjną. Oczywiście, jej parametry będą się nieco różnić od wyjściowych i będą również zmieniać się w czasie.