Co to jest?
Elementarne wyprowadzenie równoważności masy i energii
Przedstawione tu wyprowadzenie prawa równoważności, dotychczas nigdzie nie publikowane, ma dwie zalety. Chociaż wykorzystuje się w nim szczególną zasadę względności, nie wymaga to jednak stosowania formalnego aparatu teorii.
Dowód opiera się jedynie na trzech znanych wcześniej prawach:
- (1)
- zasadzie zachowania pędu,
- (2)
- wyrażeniu na pęd promieniowania, czyli - pęd pakietu falowego poruszającego się w danym kierunku,
- (3)
- znanym wyrażeniu dla aberracji światła (wpływu ruchu Ziemi na widziane z Ziemi położenie nieruchomych gwiazd, czyli - na prawie Bradleya).

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia
Dwa pakiety falowe
i
o energii
każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi
padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o
Ciało
pozostaje przy tym w spoczynku względem układu
a wynika to z symetrii zagadnienia. Rozważmy teraz ten sam proces z układu odniesienia
poruszającego się względem układu
ze stałą prędkością o wartości
w ujemnym kierunku osi
W układzie
rozważany proces opisuje się następująco: ciało
porusza się w dodatnim kierunku osi
z prędkością o wartości
Kierunki dwóch pakietów falowych w układzie
tworzą z osią
kąt
Zgodnie z prawem aberracji, w pierwszym przybliżeniu zachodzi związek:
gdzie
- prędkość światła. Z rozważań dotyczących przebiegu procesu w układzie
wiemy, że prędkość ciała
po pochłonięciu pakietów falowych
i
nie ulegnie zmianie.
Zastosujemy teraz do naszego układu prawo zachowania pędu dla składowych w kierunku w układzie
I. Niech oznacza masę ciała
do chwili pochłonięcia pakietów falowych; w takim razie
jest pędem ciała
(zgodnie z mechaniką klasyczną). Każdy pakiet falowy ma energię
a więc - zgodnie ze znanym wnioskiem z teorii Maxwella - jego pęd ma wartość
Ściśle rzecz biorąc, tyle jest równy pęd pakietu falowego
względem układu odniesienia
Kiedy jednak prędkość
jest mała w porównaniu z
wówczas pęd w układzie
ma taką samą wartość - z dokładnością do wielkości małej drugiego rzędu (
w porównaniu z 1). Wartość składowej tego pędu wzdłuż osi
jest równa
albo - z wystarczającą dokładnością (jeśli pominąć wielkości małe wyższych rzędów) -
lub
Zatem składowe pędów pakietów falowych
i
wzdłuż osi
są w sumie równe
Tak więc pęd całkowity układu przed aktem pochłonięcia jest równy
![]() |
II. Niech oznacza masę ciała
po akcie pochłonięcia. Z góry bierzemy tu pod uwagę możliwość zwiększenia masy po pochłonięciu energii
(jest to konieczne, aby ostateczny wynik naszych obliczeń był niesprzeczny). Wobec tego pęd układu po akcie pochłonięcia będzie równy
![]() |
Skorzystamy wreszcie z zasady zachowania pędu dla składowych wzdłuż osi Daje to związek
![]() |
lub
![]() |
Związek ten wyraża prawo równoważności energii i masy. Zwiększenie energii o wiąże się ze wzrostem masy o
A wobec tego, że energię określa się zazwyczaj z dokładnością do stałej addytywnej, więc tę ostatnią możemy wybrać tak, aby zachodził związek:
![]() |