Co to jest?

Elementarne wyprowadzenie równoważności masy i energii

Przedstawione tu wyprowadzenie prawa równoważności, dotychczas nigdzie nie publikowane, ma dwie zalety. Chociaż wykorzystuje się w nim szczególną zasadę względności, nie wymaga to jednak stosowania formalnego aparatu teorii.

Dowód opiera się jedynie na trzech znanych wcześniej prawach:

(1): zasadzie zachowania pędu,
(2): wyrażeniu na pęd promieniowania, czyli - pęd pakietu falowego poruszającego się w danym kierunku,
(3): znanym wyrażeniu dla aberracji światła (wpływu ruchu Ziemi na widziane z Ziemi położenie nieruchomych gwiazd, czyli - na prawie Bradleya).

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało $|B$ spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia $K0.$ Dwa pakiety falowe $S$ i $′ S ,$ o energii $|E/2$ każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi $|x0,$ padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o $E.$ Ciało $B$ pozostaje przy tym w spoczynku względem układu $K0,$ a wynika to z symetrii zagadnienia. Rozważmy teraz ten sam proces z układu odniesienia $K$ poruszającego się względem układu $K0$ ze stałą prędkością o wartości $|v$ w ujemnym kierunku osi $z0.$ W układzie $|K$ rozważany proces opisuje się następująco: ciało $B$ porusza się w dodatnim kierunku osi $|z$ z prędkością o wartości $v.$ Kierunki dwóch pakietów falowych w układzie $K$ tworzą z osią $x$ kąt $α.$ Zgodnie z prawem aberracji, w pierwszym przybliżeniu zachodzi związek: $|α= v/c,$ gdzie $|c$ - prędkość światła. Z rozważań dotyczących przebiegu procesu w układzie $|K 0$ wiemy, że prędkość ciała $|B$ po pochłonięciu pakietów falowych $S$ i $′ |S$ nie ulegnie zmianie.

Zastosujemy teraz do naszego układu prawo zachowania pędu dla składowych w kierunku $z$ w układzie $K.$

Na Marginesie

Aberracja światła, odkryta w 1726 r. przez astronoma angielskiego J. Bradleya, to zmiana położenia gwiazdy widzianej z Ziemi na skutek ruchu samej Ziemi. Aberracja roczna, uwarunkowana ruchem orbitalnym Ziemi wokół Słońca, widoczna jest jako ruch gwiazdy po maleńkiej (jak to widać z Ziemi) orbicie eliptycznej. Aberrację można poglądowo wyjaśnić jako wynik (wektorowego) sumowania się prędkości światła gwiazdy i prędkości obserwatora (wraz z Ziemią).

$obrazek$

Wobec tego, że $v P c,$ gdzie c - wartość prędkości światła, więc $|cZ cS v$ i kąt aberracji $v |α c$ (prawo Bradleya). Ten przybliżony wzór bardzo dobrze zgadza się z wynikami pomiarów, co oznacza, że w tym przypadku $|v P c$ wystarczającą dokładność obliczeń zapewnia klasyczna reguła składania prędkości Galileusza.

Ponieważ dla $vc 0$ transformacja Lorentza przechodzi w klasyczną transformację Galileusza, więc i wyrażenie na pęd ciała ma dla małych prędkości postać klasyczną. Związek $|E pc,$ spełniony dla świetlnej paczki falowej, może być udowodniony przy pomocy transformacji Lorentza i zasady względności bez uciekania się do równań Maxwella. Dowód jest elementarny, choć dosyć długi.

I. Niech $M$ oznacza masę ciała $|B$ do chwili pochłonięcia pakietów falowych; w takim razie $Mv$ jest pędem ciała $|B$ (zgodnie z mechaniką klasyczną). Każdy pakiet falowy ma energię $E/2,$ a więc - zgodnie ze znanym wnioskiem z teorii Maxwella - jego pęd ma wartość $E/2c.$ Ściśle rzecz biorąc, tyle jest równy pęd pakietu falowego $|S$ względem układu odniesienia $K0.$ Kiedy jednak prędkość $v$ jest mała w porównaniu z $c,$ wówczas pęd w układzie $K$ ma taką samą wartość - z dokładnością do wielkości małej drugiego rzędu ( $v2/c2$ w porównaniu z 1). Wartość składowej tego pędu wzdłuż osi $|z$ jest równa $E- |2c sin α,$ albo - z wystarczającą dokładnością (jeśli pominąć wielkości małe wyższych rzędów) - $|2Ecα$ lub $|E2 vc2-.$ Zatem składowe pędów pakietów falowych $S$ i $S′$ wzdłuż osi $|z$ są w sumie równe $E v-. c2$ Tak więc pęd całkowity układu przed aktem pochłonięcia jest równy

Mv + E-v. c2

II. Niech $′ M$ oznacza masę ciała $B$ po akcie pochłonięcia. Z góry bierzemy tu pod uwagę możliwość zwiększenia masy po pochłonięciu energii $|E$ (jest to konieczne, aby ostateczny wynik naszych obliczeń był niesprzeczny). Wobec tego pęd układu po akcie pochłonięcia będzie równy

′ Mv.

Skorzystamy wreszcie z zasady zachowania pędu dla składowych wzdłuż osi $|z.$ Daje to związek

Mv + E-v = M′ v c2

lub

M′−M = E-. c2

Związek ten wyraża prawo równoważności energii i masy. Zwiększenie energii o $|E$ wiąże się ze wzrostem masy o $|E-. c2$ A wobec tego, że energię określa się zazwyczaj z dokładnością do stałej addytywnej, więc tę ostatnią możemy wybrać tak, aby zachodził związek:

2 E = Mc .