Jak to działa?
Paradoks Roberta Korzeniowskiego
Rozważmy bardzo szybki, relatywistyczny chód Roberta Korzeniowskiego. Ponieważ wewnątrz obiektów poruszających się z bardzo dużymi prędkościami czas płynie wolniej dla obserwatorów zewnętrznych, należy się spodziewać, że zegarek na ręce Roberta Korzeniowskiego będzie chodził wolniej. Powolniejsze będzie również bicie jego serca. A co można powiedzieć o ruchu jego nóg? Czy im szybciej będzie szedł, tym wolniej poruszać będzie nogami? Czy w granicy prędkości światła wcale nie będzie nimi poruszał? W jaki sposób można chodzić, nie ruszając nogami?
Rzeczywiście, z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego upływ czasu
w układzie Roberta Korzeniowskiego (wielkości w tym układzie oznaczać
będziemy literkami z primem) jest powolniejszy. Tempo upływu czasu różni
się o czynnik
gdzie
jest prędkością chodu. Nie
oznacza to jednak, że można przez tenże czynnik skalować prędkości
wszystkich ruchów w poruszającym się układzie! Prawo „spowolnionego
upływu czasu” o podany czynnik dotyczy obiektów nieruchomych (na
przykład zegarów) w poruszającym się układzie odniesienia. Działa ono
dobrze również dla obiektów poruszających się powoli w układzie
primowanym. Ponieważ jednak ruch nóg w układzie primowanym musi być
równie szybki jak ruch piechura, musimy dokonać transformacji Lorentza
współrzędnych określających położenie nóg oraz środka masy chodziarza
niezależnie. W tym celu wprowadzimy najprostszy z możliwych model
chodu.

W całym problemie ważne są naprawdę tylko trzy punkty: środek masy
i położenie dwóch stóp (
i
). Rozważmy
sytuację z punktu widzenia Roberta Korzeniowskiego (czyli w układzie
primowanym). Przedstawia ją rysunek obok.
W tym układzie środek masy
jest nieruchomy, chodnik porusza się
do tyłu z pewną prędkością
stopa aktualnie dotykająca ziemi
również porusza się z prędkością
a druga stopa,
przenoszona do przodu
porusza się z prędkością
Zgodnie
z przepisami chodu sportowego w każdej chwili co najmniej jedna stopa musi
dotykać ziemi. Dlatego Robert Korzeniowski chcąc iść jak najszybciej,
stawiając jedną stopę jednocześnie odrywa drugą. Powiedzmy, że w chwili
stopa odrywana znajduje się w punkcie
a stopa
stawiana w punkcie
Natomiast przez cały czas środek masy
znajduje się w punkcie
Zmiana stóp następuje
w chwili
Przez następne
ruch jest cyklicznie
powtarzany.
Jak wygląda chód z punktu widzenia obserwatora stojącego na chodniku (układ
nieprimowany), dla którego środek masy Roberta Korzeniowskiego porusza się
zgodnie z równaniem
Sprawdźmy najpierw za pomocą
transformacji Lorentza, jak wyglądają czasoprzestrzenne współrzędne opisujące
stawianie i odrywanie stóp. Rozpocznijmy od pierwszego tupnięcia: stopa
postawiona zostaje w punkcie

a stopa
oderwana w punkcie

czyli krok staje się dłuższy. Okazuje się jednak, że stopy są stawiane
i odrywane w różnych chwilach: stopa
zostaje oderwana
w chwili

jeszcze zanim zostanie postawiona stopa
co ma miejsce w chwili

(nawiasem mówiąc może to być przyczyną dyskwalifikacji Roberta
Korzeniowskiego, mimo iż ten twierdzi, że stopy zmieniał jednocześnie).
Rozważmy teraz drugie tupnięcie, w którym stopa
zostaje postawiona
w punkcie

a stopa
oderwana w punkcie

zatem krok jest znowu dłuższy. Odpowiednie chwile odpowiadające tym zdarzeniom to

oraz

Następnie proces powtarzany jest cyklicznie. Sprawdźmy teraz, że czas oderwania stopy od ziemi wynosi:

natomiast czas, w którym druga stopa dotyka ziemi, to:

Możemy teraz odpowiedzieć już w pełni na pytanie, co dzieje się z nogami podczas relatywistycznego chodu według naszego prostego modelu. Czas trwania pełnego kroku, w którym stopa jest przenoszona, a następnie spoczywa na ziemi, wynosi:

i jest dłuższy od czasu
widzianego przez Roberta Korzeniowskiego:
Zatem odpowiedź na pytanie, czy im szybciej idziemy, tym
wolniej ruszamy nogami, dla zewnętrznego obserwatora jest, paradoksalnie,
twierdząca! W granicy
czas trwania pełnego kroku staje się wręcz
nieskończony! Jest i druga ciekawa obserwacja: w tej granicy obie stopy przez
większość czasu „fruną w powietrzu”, robiąc ogromne kroki i prawie wcale
nie dotykając ziemi.
To ostatnie stwierdzenie staje się wręcz oczywiste, gdy zdamy sobie sprawę, że w układzie Roberta Korzeniowskiego cały zewnętrzny świat (zatem również chodnik) się skraca. I mimo że długość kroku według Korzeniowskiego jest zwyczajna, to skracanie chodnika powoduje, iż każdy krok wiąże się z pokonaniem ogromnego dystansu. Nic więc dziwnego, że z punktu widzenia sędziów kroki piechura stają się nienaturalnie długie. Ponieważ jednak nogi Korzeniowskiego nie mogą się wydłużać, to jedyną możliwością zrealizowania tej sytuacji jest bieg z wydłużoną fazą lotu.