Huśtawka

Do dzisiejszego doświadczenia potrzebna będzie huśtawka. Jeszcze lepszy byłby długi, spuszczony z gałęzi sznur z poprzeczką na końcu. Każdy chyba umie rozhuśtać się. Ale czy zastanawialiście się kiedyś, dlaczego to jest możliwe i dlaczego wszyscy robią to w prawie identyczny sposób? Może jest to spowodowane naśladownictwem?

Czy każde siedmioletnie dziecko zna zasadę zachowania momentu pędu?

Kiedyś, kiedy uczyliśmy się huśtać, podpatrywaliśmy tych, co już tę sztukę opanowali, starając się wykonać ją w podobny sposób. Nie wiem jednak, czy pamiętacie, że przez pewien czas nic z tych prób nie wychodziło. Kiwaliście się zawzięcie w przód i w tył, ale żadnego efektu rezonansowego nie było widać. Bo to, że huśtanie się jest zjawiskiem rezonansowym, to chyba wiecie? Ruchy „huśtające” należy wykonywać z częstością równą częstości drgań własnych huśtawki, aby uzyskać zamierzony efekt.

O ile jednak działanie siły wymuszającej jest proste do zrozumienia w przypadku huśtania dziecka przez stojącego na ziemi dorosłego, o tyle możliwość rozhuśtywania się samemu jest zastanawiające. Przecież zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona akcja powinna równać się reakcji, a więc żadnego efektu nie powinno huśtanie dawać. Ponieważ jednak doświadczenie mówi nam co innego, to czegoś musimy nie rozumieć albo nie zauważać. (Możliwość, że prawa dynamiki Newtona nie stosują się do huśtawki, możemy spokojnie odrzucić).

Zacznijmy się więc w końcu huśtać. Jak to robimy? Najpierw nabieramy trochę rozpędu, odsuwając huśtawkę w jedną stronę, a później... Zaraz, czy to początkowe wychylenie z poziomu równowagi jest konieczne, czy tylko wygodne? To jest właśnie pierwsza rzecz, którą należy sprawdzić doświadczalnie. Spróbujcie rozhuśtać zatrzymaną huśtawkę, nie dotykając ziemi. Okaże się, że choć to nie jest niemożliwe, jest to zadziwiająco trudne i tym trudniejsze, im dłuższa jest huśtawka. Dlatego właśnie na początku namawiałem Was na próbę z długim sznurem.

Wiemy więc już, że do efektywnego huśtania się potrzebna jest pewna początkowa amplituda drgań. Nadal jednak nie wiemy, dlaczego możemy się huśtać. W tym celu, zamiast na huśtawce siedzieć, stańmy na niej. Wykorzystamy ten sposób huśtania się, gdyż jest on łatwiejszy do wytłumaczenia. Żeby się huśtać stojąc, wystarczy, jeżeli już się trochę bujamy, za każdym przejściem przez punkt równowagi „podnieść swój środek ciężkości, przesuwając go w kierunku punktu zawieszenia huśtawki” – czyli wyprostować nogi (Rys. 1), a następnie po osiągnięciu maksymalnego wychylenia pozwolić mu opaść – czyli ugiąć nogi w kolanach (Rys. 2). Przy pierwszym z opisywanych ruchów wykonujemy pracę dodatnią, działając siłą przeciwną do i przewyższającą wypadkową siły ciężkości i siły odśrodkowej, a przy drugim pracę ujemną, ale związaną jedynie ze składową siły ciężkości skierowaną wzdłuż ramienia huśtawki. Netto wykonujemy więc pracę dodatnią, którą zużywamy na zwiększanie energii ruchu drgającego (huśtania) i na pokonywanie oporów ruchu.

Aby do końca przekonać się, że takie wytłumaczenie może być wystarczające, należy zrobić kolejne doświadczenie. Przez górną poprzeczkę zatrzymanej huśtawki przerzucamy sznurek obciążony np. kamieniem. Stajemy w pewnej odległości od huśtawki, trzymając drugi koniec sznurka w ręku. Teraz należy spróbować rozhuśtać kamień, pociągając w odpowiednim rytmie za trzymany w ręku koniec sznurka (Rys. 3). Jeżeli kamień początkowo wykonywał nawet niewielkie drgania, to okazuje się to dość proste. Jak już się nauczycie, to sprawdźcie, czy postępujecie według podanej wyżej „instrukcji huśtania”.

Opisane zjawisko nosi fachową nazwę „rezonansu parametrycznego” albo „parametrycznego wzbudzania drgań”. Nazwa bierze się stąd, że zamiast używać zewnętrznej, periodycznej siły wymuszającej, wykorzystujemy periodyczną zmianę pewnego parametru drgającego układu. Rezonans pojawia się, jeżeli stosunek okresu zmiany parametru jest zbliżony do całkowitej wielokrotności połowy okresu drgania własnego układu. W naszym przypadku parametrem tym jest długość wahadła-huśtawki mierzona od punktu zamocowania do środka masy ruchomej części huśtawki (wraz z huśtającym się). Za zmieniający się parametr można także uznać moment bezwładności huśtawki względem punktu zaczepienia. Jest to z definicji iloczyn masy i kwadratu ramienia. Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że zmniejszenie momentu bezwładności przez przesunięcie środka masy w górę (przy przechodzeniu przez punkt równowagi) musi powodować przyspieszenie kątowe. Podobnie, jak złożenie rąk łyżwiarza zwiększa częstość kręcenia piruetu. Natomiast powiększaniu momentu bezwładności nie towarzyszy opóźnienie, bo huśtawka w punkcie największego wychylenia nie porusza się.

O ile przywołana zasada zachowania momentu pędu nie jest konieczna do (zrozumienia) huśtania się na stojąco, to trudno się bez niej obejść, gdy się na huśtawce usiądzie. Jest tak dlatego, że w tym przypadku ciężko dopatrzeć się zmiany położenia środka ciężkości. Gdy głowa przemieszcza się w tył, nogi wysuwane są do przodu i na odwrót. Środek ciężkości zmieniałby położenie przód-tył, gdyby huśtać się tak jak na rysunku 4. Możecie spróbować. Nie wydaje się jednak, żeby był to sposób efektywny. Może to tylko kwestia braku wprawy? Raczej nie.

Tradycyjny sposób huśtania wykorzystuje właśnie zasadę zachowania momentu pędu. Poruszając się w przód, po przekroczeniu położenia równowagi obracamy się wokół naszego środka ciężkości w przód. Powoduje to obrót huśtawki w przeciwną stronę (patrz rysunek 5), czyli też w przód! Dochodząc do maksymalnego wychylenia, gwałtownie zatrzymujemy obrót, który zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu „musi być przejęty” przez huśtawkę, powodując jej obrót w tył, czyli w kierunku, w którym powinna zacząć się poruszać (Rys. 6). Sytuacja powtarza się w sposób analogiczny po drugiej stronie. W opisanej sekwencji ruchów najłatwiejsze do uchwycenia jest gwałtowne zatrzymanie ruchu obrotowego huśtającego się w momencie największego wychylenia. Od tego zależy efektywność rozhuśtywania się. Jak widać, każde siedmioletnie dziecko umie praktycznie zastosować zasadę zachowania momentu pędu, nawet gdy nie potrafi jej sformułować.

Na koniec wróćmy jeszcze do problemu rozhuśtywania zatrzymanej huśtawki. Można sobie postawić akademicki problem „czy możliwe jest rozbujanie się punktu materialnego na nieważkiej, poruszającej się bez oporu huśtawce?” Chwila zastanowienia wystarcza, żeby stwierdzić, iż nie jest to możliwe. Punkt materialny, choćby nie wiem jak się starał, to bez początkowej, choćby najmniejszej amplitudy drgań, nie może wysunąć się w bok od linii wyznaczonej przez kierunek natężenia pola grawitacyjnego i punkt zawieszenia huśtawki. Pozwala to wymyślić, co należy zrobić, żeby się samemu zacząć huśtać. Najlepiej podzielić się na dwie części, z których jedną wyrzucamy w przód w górę, a drugiej pozwalamy wykonać 3/4 wahnięcia do momentu złapania pierwszej części. Przykład takiej pozornie niewykonalnej sekwencji ruchów jest przedstawiony na rysunku 7. Większość dochodzi do opanowania tej (lub podobnej) sekwencji metodą prób i błędów. Moim zdaniem efekty przychodzą szybciej, gdy się wie, jak je uzyskać.