Rys. 1

Równania ruchu

Wyprowadzenie równania ruchu dla struny, czyli równania falowego, można znaleźć w wielu podręcznikach. Dla porządku przypomnimy tutaj zarys tego rachunku. Strunę, na którą działa siła naciągu  możemy podzielić w myśli na szereg maleńkich kawałków (Rys. 1). Każdy taki kawałek będzie miał masę  będzie znajdował się w położeniu  wzdłuż struny, a jego wychylenie względem pozycji, jaką by miał, gdyby struna spoczywała, możemy oznaczyć przez  Wówczas II prawo dynamiki Newtona dla odcinka struny znajdującego się w położeniu  ma postać:

gdzie  są składowymi sił oddziaływania  z sąsiednimi fragmentami struny prostopadłymi do kierunku spoczywającej struny; wielkość  to nic innego jak przyspieszenie w tym kierunku. Będziemy odtąd zakładać, że wychylenie z położenia równowagi jest bardzo małe. Ponieważ naciąg struny jest stały, to, przybliżając  przez  (co jest uzasadnione właśnie dla małych wychyleń), mamy:

skąd

Dla struny o stałej gęstości liniowej  możemy zatem przepisać równanie ruchu jako

(1)

Rys. 2

W przypadku kamertonu źródło siły powodującej jego ruch jest inne. Jeżeli ramię kamertonu zostanie wygięte, to pojawi się siła sprężystości, która dla ciał sprężystych spełniających prawo Hooke’a jest proporcjonalna do odkształcenia ciała. W sytuacji przedstawionej na rysunku 2 wkład  do siły  wywieranej na fragment ciała znajdujący się w położeniu  jest proporcjonalny do modułu Younga substancji, z której wykonane jest ciało, oraz kąta odkształcenia  Kąt ten jest równy kątowi pomiędzy prostymi o nachyleniach  oraz  a zatem jest w przybliżeniu równy  Oznacza to, że możemy powtórzyć rozumowanie prowadzące do wyznaczenia równania ruchu dla struny, ale z tą różnicą, że teraz siły  nie mają stałej wartości, ale są proporcjonalne do  Otrzymujemy więc:

(2)

gdzie stała  jest odwrotnie proporcjonalna do modułu Younga. Porównując równania ruchu (1) i (2), stwierdzamy, że w tym drugim występuje aż czwarta pochodna wychylenia po położeniu. Jak się zaraz przekonamy, ta drobna z pozoru różnica decyduje o brzmieniu dźwięku kamertonu.

Rozwiązanie równań ruchu

Rozwiązania każdego z równań ruchu (1) i (2) można złożyć z fal stojących, tj. funkcji postaci Przyjmiemy, że funkcja opisująca zależność wychylenia od czasu ma postać  Po podstawieniu do równania (1) otrzymujemy równanie:

gdzie tzw. związek dyspersyjny ma postać ; rozwiązaniami tego równania są funkcje  i  Zakładając, że struna jest sztywno zamocowana w   i w   musimy odrzucić pierwszą klasę rozwiązań, a wśród drugiej klasy dopuścić tylko te, dla których  czyli  gdzie  jest liczbą naturalną. Oznacza to, że widmo częstości takiej struny jest dyskretne – występuje w nim najniższa częstość  oraz jej wielokrotności.

Podstawiając opisaną wyżej postać rozwiązania do równania (2), otrzymujemy

gdzie związek dyspersyjny ma teraz postać  Rozwiązaniem tego równania jest dowolna kombinacja liniowa funkcji      oraz  a więc funkcja postaci

gdzie stałe      oraz  wyznaczymy z warunków brzegowych. Warunki te dla drgającego pręta o długości  możemy opisać następująco:

1.

wychylenie pręta w punkcie  jest zerowe,

2.

w punkcie  pręt jest pionowy,

3.

w punkcie  siła sprężystości jest równa zeru,

4.

w punkcie  składowa siły sprężystości prostopadła do osi  jest równa zeru,

Uwzględnienie tych warunków prowadzi do następującego związku:

a stąd

(3)

Rys. 3 Wykres funkcji

Ponieważ czynnik  jest dodatni, funkcja ma te same miejsca zerowe co funkcja we wzorze (3), jest jednak ograniczona na przedziale

Rozwiązania tego równania możemy wyznaczyć w sposób następujący. Funkcja  jest bardzo szybko rosnącą funkcją swego argumentu, a więc dla dostatecznie dużych  miejsca zerowe funkcji  będą znajdowały się blisko miejsc zerowych funkcji  czyli  gdzie  jest liczbą naturalną (por. Rys. 3). Lepszą dokładność możemy uzyskać, zakładając, że  jest pewnym przybliżeniem szukanego miejsca zerowego i pisząc

Rozwijając to w  do rzędu kwadratowego, otrzymujemy równanie

co pozwala znaleźć dokładniejsze rozwiązanie  Opisaną procedurę można powtórzyć, uzyskując rozwiązanie z coraz lepszą dokładnością. W ten sposób stwierdzamy, że najmniejszymi rozwiązaniami równania (3) są  Pamiętając, że w rozważanym przypadku częstość drgań jest proporcjonalna do kwadratu liczby falowej  stwierdzamy, że częstości drgań struny i kamertonu o częstości podstawowej 440 Hz, czyli tonu  używanego do strojenia instrumentów, są takie jak w tabeli. Widzimy stąd, że dla kamertonu druga częstość dozwolonych drgań leży niemal dwie i pół oktawy powyżej tonu podstawowego, między dźwiękami  i  Jest ona na ogół słabiej słyszalna i łatwa do odróżnienia od częstości podstawowej, co sprawia, że drgający pręt jest lepszym wzorcem częstości niż drgająca struna.

W praktyce stosuje się kamertony zbudowane z dwóch drgających prętów. Takie rozwiązanie pozwala na to, by pręty te drgały w przeciwfazie, a wtedy zamocowanie kamertonu sztywno za uchwyt nie powoduje silnego tłumienia dźwięku.