Rys. 1 Dwa punkty na obręczy toczące się po poziomej płaszczyźnie.

Rys. 2 Bąk ciężki.

Środek masy układu znajduje się stale na tej samej wysokości, zatem energia potencjalna siły ciężkości jest stała. Ruch każdego z punktów jest złożeniem ruchu postępowego z prędkością  oraz ruchu po okręgu z prędkością  Zatem wypadkowe prędkości punktów  i  wynoszą:

Łączna energia kinetyczna tych punktów wynosi więc:

(*)

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie  dla całkowitej masy układu. Widać, że prawa strona ( * ) jest sumą dwóch składników o jasnych znaczeniach: pierwszy związany jest z ruchem środka masy, drugi niesie informację o obrocie względem osi stałej względem ciała i przechodzącej przez środek masy. Współczynnik mnożący  w drugim wyrazie nosi nazwę momentu bezwładności względem tej osi i jest równy sumie iloczynów mas punktów układu i kwadratów odległości tych punktów od osi obrotu. Gdyby ciało toczyło się bez poślizgu, punkt  styku obręczy z podłożem spoczywałby, gdyż mielibyśmy  Moglibyśmy wówczas rozważać obrót ciała względem chwilowej osi przechodzącej przez ten punkt styczności, a energia kinetyczna wyrażałaby się wzorem  Nietrudno sprawdzić, że moment bezwładności obliczony względem tej osi wynosi  co po pomnożeniu przez  znowu daje energię kinetyczną obrotu.

W powyższym zadaniu oś obrotu pozostawała stała względem obracającego się ciała, ale w ogólnym przypadku tak wcale być nie musi. Okazuje się, że dla dowolnego ciała obracającego się wględem ustalonego punktu istnieją trzy prostopadłe osie    i  przechodzące przez punkt obrotu, takie że momenty bezwładności obliczone względem tych osi wynoszą    oraz  a energia kinetyczna obrotu jest równa

gdzie  jest wektorem skierowanym wzdłuż chwilowej osi obrotu, współczynniki  i  to jego składowe w układzie współrzędnych wyznaczonym przez osie    i  natomiast długość wektora  jest równa prędkości kątowej.

Rys. 3 Ruch symetrycznego bąka ciężkiego.

---

Szczególnym przypadkiem takich ruchów obrotowych jest ruch – w ziemskim polu grawitacyjnym – ciała, którego jeden punkt został przegubowo unieruchomiony w ustalonym punkcie  (Rys. 2). Ciało takie nazywamy bąkiem ciężkim. Gdy bąk ciężki jest symetryczny, tj. ma symetrię obrotową względem osi  łączącej środek masy  z punktem nieruchomym  analiza zasady zachowania energii prowadzi do wniosku, że ruch osi symetrii  jest złożeniem ruchu precesyjnego i nutacyjnego, którego przykład przedstawia rysunek 3. Jakościową słuszność takiego rozwiązania potwierdzi każdy, kto – niekoniecznie w dzieciństwie – bawił się zabawką również zwaną bąkiem.

A co, jeśli bąk nie jest symetryczny? Okazuje się, że ogólne rozwiązanie równań ruchu bąka ciężkiego (z dowolnymi warunkami początkowym) nie daje się uzyskać poza trzema przypadkami. Są nimi:

• opisany wyżej bąk Lagrange’a: momenty bezwładności  i  są równe, a środek masy  leży na osi odpowiadającej momentowi bezwładności
• bąk Eulera:  oraz unieruchomiony punkt jest środkiem masy ciała,
• bąk Kowalewskiej:  oraz środek masy ciała leży w płaszczyźnie