O rysowaniu zderzeń
Zderzenia ciał są jednym z częściej poruszanych tematów na szkolnych lekcjach fizyki, ponieważ są świetnym polem wykorzystania rozmaitych postaci zasad zachowania energii i pędu. Co więcej, można stopniowo komplikować rozpatrywane zagadnienia – przejść od elastycznych zderzeń cząstek punktowych, poprzez niesprężyste zderzenia brył sztywnych, aż po skomplikowane problemy teorii sprężystości, obejmujące szczegółową analizę momentu zderzenia i teorię rozpraszania.
Ograniczmy rozważania do geometrycznego spojrzenia na elastyczne zderzenie
punktowych cząstek, wprowadzając zabawne i ciekawe narzędzie do analizy
zderzeń. Sprowadzi się to do
rysowania kółek i strzałek.
Rozważmy spoczywającą cząstkę o masie
, która rozpada się
samorzutnie na dwie nowe cząstki o równych masach
. Cząstki
te poruszają się zatem z równymi prędkościami. Zajmijmy się jedną
z nich – niech jej prędkość w układzie spoczywającej cząstki
wynosi
. Prędkość drugiej wynosi, oczywiście,
.
Czytelnik Wnikliwy zauważy zapewne, że w opisanej tu sytuacji nie jest
zachowana całkowita energia, ani całkowita masa! Energia potencjalna wszystkich
składników układu jest stale równa zeru, energia kinetyczna cząstki przed
rozpadem także równa się zeru, a energia kinetyczna produktów rozpadu
to
. Ten pozorny paradoks wynika z zaniedbania efektów
relatywistycznych, tj. równoważności masy i energii.

Rys. 1 Geometryczna interpretacja rozpadu cząstki.
Przejdźmy teraz do układu laboratoryjnego, w którym cząstka
porusza się z prędkością
, pierwsza zaś z cząstek
z prędkością
. Prędkość ta jest, oczywiście, wektorową sumą
prędkości w układzie pierwotnej cząstki i prędkości tego układu odniesienia
w laboratorium:

Przepisując tę równość w postaci
i stosując twierdzenie
cosinusów, otrzymamy związek

gdzie
jest kątem między wektorami
i
. Możemy
posłużyć się bardzo wygodnym rysunkiem 1 do zobrazowania tej sytuacji.
Prędkość
jest wektorempoprowadzonym do dowolnego punktu
na obwodzie okręgu z punktu
, odległego od środka okręgu
o wektor
. Promień okręgu jest równy
. Możemy przy tym
rozróżnić dwa przypadki. Jeżeli
, czyli punkt
leży
wewnątrz okręgu, to kąt
, pod jakim cząstka opuści układ, jest dowolny.
W przypadku
cząstka może wylecieć tylko do przodu i pod
kątem nieprzekraczającym
. Z konstrukcji przedstawionej na
rysunku łatwo można przekonać się, że wartość kąta granicznego określa
równość

Kąt ten odpowiada bowiem stycznej do okręgu w punkcie
,
poprowadzonej z
. Takie kąty mierzy, oczywiście, obserwator
w układzie laboratoryjnym. Rysunki te mają jeszcze jedną zaletę – możemy
łatwo powiązać kąty w układzie środka masy z kątami mierzonymi
w układzie laboratoryjnym. Pozostawiając przekształcenia Czytelnikowi,
podajemy wynik
