Piramida kwadratowych liczb

Piramidy w starożytnym Egipcie budowano na kształt ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratu. Jak pokazują źródła historyczne, starożytni Egipcjanie potrafili obliczyć objętość takiego ostrosłupa. Jednak ich dobrze rozwinięta, jak na tamte czasy, matematyka, miała głównie zastosowanie praktyczne i raczej nikt nie formułował pytań, które miałyby na celu jedynie matematyczną rozrywkę. Jednym z matematyków, który szczególnie interesował się rozrywkowymi zastosowaniami królowej nauk, był Édouard Lucas, autor między innymi słynnej gry zwanej Wieżą Hanoi. W niniejszym artykule zwrócimy uwagę na sformułowany przez Lucasa problem z gatunku tych raczej mało praktycznych. Jak zobaczymy, ma on pewien związek z piramidami.
Wyobraźmy sobie piramidę o podstawie kwadratu utworzoną z jednakowych kul. W 1875 roku Édouard Lucas rzucił wyzwanie czytelnikom pewnego czasopisma matematycznego (nie była to Delta - przyp. red.), formułując
Problem ten można zapisać w formie równania diofantycznego
![]() |
gdzie jest liczbą kul armatnich w rzędzie tworzącym bok kwadratu będącego podstawą piramidy, a
sumą wszystkich kul składających się na piramidę. Posługując się wzorem na sumę kwadratów pierwszych kolejnych liczb naturalnych, powyższe równanie możemy również zapisać w sposób równoważny jako
![]() |
Lucas postawił poniższą hipotezę.
Hipoteza. Jedynymi parami liczb naturalnych spełniającymi równanie
![]() |
są
oraz
Okazała się ona prawdziwa, jednak początkowe próby jej udowodnienia były nieskuteczne. Sam autor również opublikował rzekomy dowód, jednak zawierał on lukę, której przez długi czas nikomu nie udało się uzupełnić. Dopiero w 1918 roku George Neville Watson przedstawił pierwsze kompletne uzasadnienie hipotezy Lucasa. Było ono jednak obszerne i wykorzystywało zaawansowane narzędzia. Dopiero później pojawiły się mniej wyrafinowane dowody. W dalszej części tego artykułu przedstawimy szkic jednego z nich, który można uznać za stosunkowo prosty, gdyż opiera się na elementarnej teorii liczb.
Niech para będzie rozwiązaniem powyższego równania. W pierwszej części dowodu załóżmy, że
jest parzyste. Pomocne będą poniższe dwa lematy, których techniczne dowody przedstawimy w szkicowej postaci.
Lemat 1. Nie istnieje trójkąt prostokątny o bokach całkowitych, którego pole jest liczbą kwadratową.
Szkic dowodu. Przypuśćmy, że jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której istnieją
spełniające
oraz
dla pewnego
Zgodnie ze znaną charakterystyką rozwiązań drugiego z tych równań możemy przyjąć
(
względnie pierwsze) i wówczas
Ze względnej pierwszości
i
wynika
i
skąd
oraz
Mamy jednak
co przeczy definicji
i kończy dowód.
Szkic dowodu. Niech będzie rozwiązaniem równania
o możliwie najmniejszej wartości
Wówczas
jest nieparzyste i możemy przekształcić równanie do postaci
Jeśli
jest nieparzyste, to
i
są względnie pierwsze, a zatem dla pewnych
mamy
i
skąd rozważając modulo 8, szybko otrzymujemy sprzeczność. Zatem
jest parzyste i podobnie wnioskujemy
i
W tej sytuacji
(gdzie
). Z
wnioskujemy (modulo 4) parzystość
skąd
i
czyli
co daje nam sprzeczność z minimalnością
Szkic dowodu. Przypuśćmy, że Wówczas
i
Jeśli
jest parzyste, to
i
a zatem
skąd i z lematu 2 mamy
Jeśli
jest nieparzyste, to
i
czyli
Wnioskujemy stąd (modulo 4), że liczby
i
są nieparzyste, ponadto podnosząc ostatnią równość do kwadratu i przekształcając, dostaniemy
Ze względnej pierwszości
i
mamy
i
a zatem
i
Zgodnie z lematem 1 oznacza to, że
i w konsekwencji
Powróćmy do hipotezy Lucasa. Skoro jest parzyste, to
i
są parami względnie pierwsze. Stąd
jako liczby nieparzyste, są albo kwadratami, albo potrójnymi kwadratami. Zatem
oraz
a stąd
oraz
co daje również, że
Ostatecznie
Wobec tego liczby
i
są kwadratami (gdyby były potrójnymi kwadratami, nie byłyby względnie pierwsze z
). Wtedy dla pewnych liczb naturalnych
parami względnie pierwszych możemy zapisać
![]() |
Ponadto a skoro
są nieparzyste, to
Wtedy
czyli
Ze względnej pierwszości i
wynika względna pierwszość liczb całkowitych
i
Niech będzie liczbą całkowitą taką, że
Wtedy
Skoro
są względnie pierwsze, to otrzymujemy dwie możliwości.
- 1)
- Jedna z liczb
jest postaci
a druga
gdzie
są nieujemne całkowite. Wtedy
i
Skoro jednak
to
czyli
Korzystając z lematu 3, otrzymujemy
Stąd
- 2)
- Jedna z liczb
jest postaci
a druga
gdzie
są nieujemne całkowite. Wtedy
i
Wobec równości
otrzymujemy, że
Następnie z lematu 2 wnioskujemy, że nie istnieje liczba całkowita dodatnia
spełniająca powyższe założenia. Stąd równanie
nie ma rozwiązań w tym przypadku.
Wykazaliśmy więc, że gdy jest parzyste, to problem Lucasa ma tylko jedno rozwiązanie:
Pozostaje nam sytuacja, kiedy to jest nieparzyste. Najpierw odwołamy się do dość znanego w teorii liczb równania Pella, a właściwie do jego szczególnego przypadku, to znaczy równania
Wiemy, że jego wszystkie rozwiązania to ciąg liczb
![]() |
gdzie
Do przeprowadzenia drugiej części dowodu potrzebny będzie jeszcze jeden lemat, którego dowód również pominiemy. Bazuje on na pewnej obserwacji dotyczącej rozwiązań równania
Dowód wspomnianego wyżej lematu również nie jest skomplikowany, jednak opiera się na kilku innych obserwacjach dotyczących własności rekurencyjnych ciągu rozwiązań równania których treści tutaj pominiemy, gdyż same w sobie nie są one dla nas szczególnie interesujące.
Skoro są parami względnie pierwsze, to
jest kwadratem albo potrójnym kwadratem i
Wówczas
(parzyste) jest odpowiednio albo kwadratem pomnożonym przez 6, albo podwójnym kwadratem. Zatem
a stąd już łatwo wywnioskować, że
i
Wtedy istnieją takie liczby naturalne
parami względnie pierwsze, że
![]() |
Następnie otrzymujemy, że Ponadto
![]() |
Równanie to przyjęło postać szczególnego równania Pella, przy czym odpowiada wyrazom ciągu
Korzystając z lematu 3, otrzymujemy
co daje nam
a wtedy
Uzyskaliśmy drugie rozwiązanie problemu Lucasa. Tym samym zakończyliśmy dowód jego hipotezy.
Rozważając powyższe piramidy, można zadać sobie również pytanie, kiedy suma kul jest liczbą trójkątną, czyli poszukać rozwiązań równania diofantycznego
![]() |
Na to również są znane wyniki. Aby dostarczyć sobie matematycznej rozrywki, czemu by nie zadać innego warunku dla liczby będącej sumą kul? Jeśli tylko mamy do czynienia z pewnym ciągiem liczb, którego jawny wzór jest nam znany, to cała zabawa sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania diofantycznego. Tym samym zachęcam Cię, drogi Czytelniku, do sformułowania podobnego problemu.