Ziemiolubne liczby i ulotne reszty

Człowiek twardo stąpa po ziemi, a z nim pojęcia, które stworzył. Na przykład liczby są tylko tym, do czego człowiekowi służą: porządkowe, kardynalne i inne. W skończonych zastosowaniach są to liczby naturalne 1, 2, 3, ... i ich uogólnienia: liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste i zespolone. Słowo skończone w poprzednim zdaniu odnosi się wyłącznie do opisywanego atrybutu liczonego obiektu: a to jego rangi, a to mocy, a to fizycznych rozmiarów. W matematyce teoretycznej liczb praktycznie zawsze potrzebujemy nieskończenie wiele!

Wróćmy zatem na ubitą przez tysiąclecia glebę teorii liczb. Jak udowodnić najprościej, że równanie

x2− 20xy + y2 = 100000000003

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych $x,y?$ Można na przykład zauważyć, że odpowiednia kongruencja mod 4 nie ma rozwiązań. Wynika to stąd, że kwadrat liczby całkowitej zawsze przystaje do 0 lub 1 modulo 4, a zatem lewa jej strona przystaje do 0,1,2 modulo 4, a prawa do 3.

Nie zawsze jest tak łatwo i o tym właśnie jest ten artykuł. Rozważmy mianowicie równanie

4 4 2 x − 2y = 7z

(1)

i zapytajmy o jego rozwiązania w liczbach całkowitych nieujemnych $x,y, z.$ Jeśli $|x,y,z$ jest takim rozwiązaniem oraz $|x = 0,$ to $4 2 − 2y = 7z ,$ a więc również $|y = z = 0.$ Załóżmy teraz nie wprost, że istnieje rozwiązanie, w którym $|x > 0,$ i rozważajmy dalej jedno z rozwiązań, w których $|x$ przyjmuje wartość dodatnią najmniejszą z możliwych. Udowodnimy przede wszystkim, że wówczas

(x,y) = (x,z) = (y,z) = 1.

(2)

( $(a, b)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb całkowitych $|a,b.$ ) Niech $|P = {2,3,5,...}$ oznacza dalej zbiór wszystkich liczb pierwszych. Załóżmy, że istnieje takie $q ∈ P,$ że $|x = qx1,y = qy1$ dla pewnych $|x,y ∈N , 1 1 0$ przy czym $|x > 0. 1$ Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy

4 4 4 2 q (x1− 2y1) = 7z

i stąd dostajemy, że $z = q2z1,$ gdzie $|z1∈N0$ (również dla $q = 7$ ). Liczby $|x1,y1,z1$ spełniają zatem równanie (1), przy czym $0 < x1 = x/q < x,$ sprzeczność z wyborem $x.$ Udowodniliśmy więc, że $|(x,y) = 1.$ Analogicznie wykazujemy, że $|(x,z) = (y,z) = 1.$ Z (1) i (2) wynika, że wszystkie liczby $|x,y,z$ są nieparzyste. Rzeczywiście, gdyby $|x$ była parzysta, to z (1) wynika, że również $z$ byłaby parzysta, skąd $|(x,z)⩾ 2,$ sprzeczność z (2). Podobnie $z$ jest nieparzysta. Gdyby $y$ była parzysta to mielibyśmy kongruencję

x4≡ 7z2mod 8,

ale to nie jest możliwe, gdyż kwadrat liczby nieparzystej przystaje do 1 mod 8:

+1,gdziem∈N0. (2k+ 1)2 = 4k(k + 1)+ 1 = 8m

Zatem $y$ jest również nieparzysta. Wykażemy teraz, że

z ≡± 1mod 8.

(3)

Jeśli $z = 1,$ to (3) oczywiście zachodzi. Gdy $z > 1,$ rozpatrujemy dowolny dzielnik pierwszy $p$ liczby $|z.$ Mamy $p ≠ 2$ oraz z równania (1) wynika kongruencja

x4− 2y4 ≡0 mod p.

Ponieważ $| z ≡0 mod p,$ więc $| y /≡ 0mod p$ na mocy (2). Niech $| t$ będzie takie, że $|yt≡ 1mod p.$ Wówczas

(xt)4≡ 2(yt)4≡ 2 mod p,

czyli kongruencja $r2 ≡2 mod p$ ma rozwiązanie, np. $|r = (xt)2.$ Teraz trzeba przywołać słynne twierdzenie z teorii reszt kwadratowych. Jako pierwszy udowodnił je Gauss:

Twierdzenie. Jeśli $p ∈ P ∖{2},$ to kongruencja $r2 ≡ 2mod p$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $p ≡ ±1mod 8.$

Podsumujmy: liczba $|z$ jest iloczynem swoich czynników pierwszych $|p,$ a zatem (3) zachodzi. Skoro $z = 8k ± 1,$ więc $z2 = 16(4k2 ± k) +1,$ czyli $|z2≡ 1mod 16.$ Z podobnych powodów $x4 ≡ 1≡ y4mod 16.$ Zatem lewa $|L$ i prawa $P$ strona równania (1) spełniają następujące kongruencje:

L≡ 1− 2 ⋅1≡ 15 mod 16, P ≡7 ⋅1≡ 7mod 16,

co daje upragnioną sprzeczność.

Jedynym rozwiązaniem równania (1) w liczbach całkowitych jest więc trójka $|x = y = z = 0.$ W finale dowodu rozstrzygającą rolę odegrały rozważania modulo 16. Nie jest jednak prawdą, że kongruencja

4 4 2 x − 2y ≡7z mod 16

nie ma rozwiązań w liczbach nieparzystych. Wystarczy wziąć $x = 1,y = 1,z = 3.$

Nie jest to przypadek. W pozostałej części artykułu pokażemy, że dla każdej liczby $>1 m$ istnieją liczby całkowite $x,z$ spełniające kongruencję

4 2 . x −2 ≡ 7z mod m

(4)

Oznacza to, że strategia dowodu, że równanie (1) nie ma całkowitych rozwiązań poza $| x = y = z = 0,$ polegająca na szukaniu liczby $| , m$ dla której kongruencja

x4− 2y4 ≡7z2 mod m

nie ma rozwiązań $x,y, z$ spełniających $)=1, |(x,y,z,m$ nie może się powieść.

Z twierdzenia chińskiego o resztach wynika, że można się ograniczyć do przypadku, gdy $=pk, m$ gdzie $p ∈P.$ Najpierw rozpatrzmy przypadek $|p = 2$ i połóżmy $x = 1.$ Wykażemy, że dla każdego $|k ⩾1$ istnieje $|zk$ spełniające kongruencję

2 k 7zk + 1≡ 0mod 2 .

(5)

Dla $k ⩽ 3$ bierzemy $zk = 1.$ Załóżmy teraz, że dla pewnego $k ⩾ 3$ istnieją takie $|zk,tk,$ że $|7z2k + 1 = tk⋅2k.$ Wykażemy, że istnieją takie $zk+1,tk+1,$ że $|7z2 + 1 = tk+1⋅2k+1. k+1$ Niech $zk+1 = zk +uk2k−1,$ gdzie $uk$ dobierzemy za chwilę. Modulo $|k+1 2$ mamy

$pict$

Liczbę $uk$ dobieramy tak, aby prawa strona powyższego wzoru była podzielna przez $2k+1$ :

0 gdy tk ≡ 0mod 2, uk = { 1 gdy tk ≡ 1mod 2.

To działa, gdyż $7zk$ jest nieparzyste.

Zajmiemy się teraz kongruencją (4) dla $=pk, |m$ gdzie $|p∈ P ∖ {2,7}.$ Dla $|x = 0,1,2$ otrzymujemy odpowiednio kongruencje

2 k 2 k 2 k 7z ≡ −2 mod p , 7z ≡ −1mod p , 7z ≡14 mod p .

Niech $|t$ spełnia warunek $7t ≡ 1mod pk.$ Powyższe kongruencje są równoważne następującym:

z2 ≡− 2tmod pk, z2 ≡− tmod pk, z2≡ 2mod pk.

(6)

Ponieważ zredukowana grupa reszt modulo $pk$ jest cykliczna oraz

2 (−2t)(−t)⋅2 = (2t),

więc przynajmniej jedna z kongruencji (6) ma rozwiązanie $z$ (jedna lub wszystkie). W istocie chodzi tu o to, że iloczyn niereszt kwadratowych jest resztą kwadratową itd. Czytelnikowi pozostawiamy przypadek $k | =7. m$

Podobną własność jak równanie (1) mają równania

3 3 3 3x + 4y + 5z = 0 [E. Selmer, 1951],

x4− 17y4 = 2z2 [H. Reichardt, 1942].

Były to w zasadzie pierwsze przykłady nietrywialnych równań diofantycznych, które nie spełniają zasady lokalno-globalnej, czyli nie mają nietrywialnych rozwiązań wymiernych, mimo że odpowiednie kongruencje mod $|m$ mają nietrywialne rozwiązania dla każdej liczby $>1. m$ Nie ma takich równań stopnia $|⩽ 2$ dowolnej liczby zmiennych, gdyż zachodzi następujące słynne twierdzenie Hassego-Minkowskiego:

Twierdzenie. Niech $f(x1,x2,...,xn) = Pi, jai jxix j$ będzie formą kwadratową nieokreśloną o współczynnikach całkowitych. Jeśli dla każdego $>1 m$ kongruencja $| f(x1,...,xn) ≡ 0mod m$ ma rozwiązanie $x ,x ,...,x 1 2 n$ spełniające $)=1, (x ,x ,...,x ,m 1 2 n$ to istnieją $|x1,...,xn ∈Z,$ że $f (x1,...,xn) = 0$ oraz $|(x1,...,xn) ≠ (0,...,0).$

Nierozwiązalność kongruencji $F ≡ 0mod m$ dla liczby $m$ odpowiednio dobranej do badanego równania diofantycznego $F = 0$ jest ewidentną przeszkodą dla jego rozwiązalności w liczbach całkowitych. Przykłady takie, jak Selmera, Reichardta, równanie (1) i wiele, wiele innych dotykają trudnej rzeczywistości: czasem przeszkody na drodze do rozwiązalności są bardziej subtelne i głębiej ukryte. I tak np. równania reprodukowane w tym tekście dają nietrywialne elementy grupy Szafarewicza-Tate'a odpowiednich krzywych eliptycznych. Kryje się za tym wszystkim matematyka nowoczesna i abstrakcyjna, ale jednocześnie bardzo, bardzo konkretna - nasz przykład równania (1) ilustruje oczywiście tylko ten drugi aspekt. Ma to być jednak wystarczającą zachętą dla Czytelnika Zainteresowanego teorią liczb, aby pogłębić swoje studia tego fascynującego działu matematyki:)