Ziemiolubne liczby i ulotne reszty
Człowiek twardo stąpa po ziemi, a z nim pojęcia, które stworzył. Na przykład liczby są tylko tym, do czego człowiekowi służą: porządkowe, kardynalne i inne. W skończonych zastosowaniach są to liczby naturalne 1, 2, 3, ... i ich uogólnienia: liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste i zespolone. Słowo skończone w poprzednim zdaniu odnosi się wyłącznie do opisywanego atrybutu liczonego obiektu: a to jego rangi, a to mocy, a to fizycznych rozmiarów. W matematyce teoretycznej liczb praktycznie zawsze potrzebujemy nieskończenie wiele!

Wróćmy zatem na ubitą przez tysiąclecia glebę teorii liczb. Jak udowodnić najprościej, że równanie
![]() |
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych Można na przykład zauważyć, że odpowiednia kongruencja mod 4 nie ma rozwiązań. Wynika to stąd, że kwadrat liczby całkowitej zawsze przystaje do 0 lub 1 modulo 4, a zatem lewa jej strona przystaje do 0,1,2 modulo 4, a prawa do 3.
Nie zawsze jest tak łatwo i o tym właśnie jest ten artykuł. Rozważmy mianowicie równanie
![]() |
(1) |
i zapytajmy o jego rozwiązania w liczbach całkowitych nieujemnych Jeśli
jest takim rozwiązaniem oraz
to
a więc również
Załóżmy teraz nie wprost, że istnieje rozwiązanie, w którym
i rozważajmy dalej jedno z rozwiązań, w których
przyjmuje wartość dodatnią najmniejszą z możliwych. Udowodnimy przede wszystkim, że wówczas
![]() |
(2) |
( oznacza największy wspólny dzielnik liczb całkowitych
) Niech
oznacza dalej zbiór wszystkich liczb pierwszych. Załóżmy, że istnieje takie
że
dla pewnych
przy czym
Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy
![]() |
i stąd dostajemy, że gdzie
(również dla
). Liczby
spełniają zatem równanie (1), przy czym
sprzeczność z wyborem
Udowodniliśmy więc, że
Analogicznie wykazujemy, że
Z (1) i (2) wynika, że wszystkie liczby
są nieparzyste. Rzeczywiście, gdyby
była parzysta, to z (1) wynika, że również
byłaby parzysta, skąd
sprzeczność z (2). Podobnie
jest nieparzysta. Gdyby
była parzysta to mielibyśmy kongruencję
![]() |
ale to nie jest możliwe, gdyż kwadrat liczby nieparzystej przystaje do 1 mod 8:
![]() |
Zatem jest również nieparzysta. Wykażemy teraz, że
![]() |
(3) |
Jeśli to (3) oczywiście zachodzi. Gdy
rozpatrujemy dowolny dzielnik pierwszy
liczby
Mamy
oraz z równania (1) wynika kongruencja
![]() |
Ponieważ więc
na mocy (2). Niech
będzie takie, że
Wówczas
![]() |
czyli kongruencja ma rozwiązanie, np.
Teraz trzeba przywołać słynne twierdzenie z teorii reszt kwadratowych. Jako pierwszy udowodnił je Gauss:
Twierdzenie. Jeśli to kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
Podsumujmy: liczba jest iloczynem swoich czynników pierwszych
a zatem (3) zachodzi. Skoro
więc
czyli
Z podobnych powodów
Zatem lewa
i prawa
strona równania (1) spełniają następujące kongruencje:
![]() |
co daje upragnioną sprzeczność.
Jedynym rozwiązaniem równania (1) w liczbach całkowitych jest więc trójka W finale dowodu rozstrzygającą rolę odegrały rozważania modulo 16. Nie jest jednak prawdą, że kongruencja
![]() |
nie ma rozwiązań w liczbach nieparzystych. Wystarczy wziąć

Nie jest to przypadek. W pozostałej części artykułu pokażemy, że dla każdej liczby istnieją liczby całkowite
spełniające kongruencję
![]() |
(4) |
Oznacza to, że strategia dowodu, że równanie (1) nie ma całkowitych rozwiązań poza polegająca na szukaniu liczby
dla której kongruencja
![]() |
nie ma rozwiązań spełniających
nie może się powieść.
Z twierdzenia chińskiego o resztach wynika, że można się ograniczyć do przypadku, gdy gdzie
Najpierw rozpatrzmy przypadek
i połóżmy
Wykażemy, że dla każdego
istnieje
spełniające kongruencję
![]() |
(5) |
Dla bierzemy
Załóżmy teraz, że dla pewnego
istnieją takie
że
Wykażemy, że istnieją takie
że
Niech
gdzie
dobierzemy za chwilę. Modulo
mamy

Liczbę dobieramy tak, aby prawa strona powyższego wzoru była podzielna przez
:
![]() |
To działa, gdyż jest nieparzyste.
Zajmiemy się teraz kongruencją (4) dla gdzie
Dla
otrzymujemy odpowiednio kongruencje
![]() |
Niech spełnia warunek
Powyższe kongruencje są równoważne następującym:
![]() |
(6) |
Ponieważ zredukowana grupa reszt modulo jest cykliczna oraz
![]() |
więc przynajmniej jedna z kongruencji (6) ma rozwiązanie (jedna lub wszystkie). W istocie chodzi tu o to, że iloczyn niereszt kwadratowych jest resztą kwadratową itd. Czytelnikowi pozostawiamy przypadek
Podobną własność jak równanie (1) mają równania
![]() |
![]() |
Były to w zasadzie pierwsze przykłady nietrywialnych równań diofantycznych, które nie spełniają zasady lokalno-globalnej, czyli nie mają nietrywialnych rozwiązań wymiernych, mimo że odpowiednie kongruencje mod mają nietrywialne rozwiązania dla każdej liczby
Nie ma takich równań stopnia
dowolnej liczby zmiennych, gdyż zachodzi następujące słynne twierdzenie Hassego-Minkowskiego:
Twierdzenie. Niech będzie formą kwadratową nieokreśloną o współczynnikach całkowitych. Jeśli dla każdego
kongruencja
ma rozwiązanie
spełniające
to istnieją
że
oraz
Nierozwiązalność kongruencji dla liczby
odpowiednio dobranej do badanego równania diofantycznego
jest ewidentną przeszkodą dla jego rozwiązalności w liczbach całkowitych. Przykłady takie, jak Selmera, Reichardta, równanie (1) i wiele, wiele innych dotykają trudnej rzeczywistości: czasem przeszkody na drodze do rozwiązalności są bardziej subtelne i głębiej ukryte. I tak np. równania reprodukowane w tym tekście dają nietrywialne elementy grupy Szafarewicza-Tate'a odpowiednich krzywych eliptycznych. Kryje się za tym wszystkim matematyka nowoczesna i abstrakcyjna, ale jednocześnie bardzo, bardzo konkretna - nasz przykład równania (1) ilustruje oczywiście tylko ten drugi aspekt. Ma to być jednak wystarczającą zachętą dla Czytelnika Zainteresowanego teorią liczb, aby pogłębić swoje studia tego fascynującego działu matematyki:)