Jest jednak metoda dowodzenia, w której dowody mocniejszych twierdzeń bywają łatwiejsze niż ich sformułowań mniej ogólnych. To indukcja matematyczna.

Weźmy taki przykład. Postarajmy się udowodnić, że suma sześcianów początkowych liczb naturalnych jest pełnym kwadratem, czyli kwadratem pewnej liczby naturalnej. Spróbujmy dowodu indukcyjnego. Sprawdzamy bazę dla Działa: czyli suma pojedynczego sześcianu jedynki jest kwadratem jedności (dla zresztą też działa!). Załóżmy teraz, że dla pewnego naturalnego Mamy wykazać, że

dla pewnej liczby naturalnej Stosujemy założenie indukcyjne:

i klops! Tego się nie da już doprowadzić do niczego sensownego. Dowód się zacina.

Wystarczy jednak wzmocnić nieco tezę: nie tylko twierdzić, że jest to pełny kwadrat jakiejś liczby, ale ją bezpośrednio wskazać: tą liczbą jest suma początkowych liczb naturalnych, czyli Nasze mocniejsze twierdzenie mówi, że Teraz krok indukcyjny działa bez zarzutu: Zakładamy, że i dowodzimy, że Elementarne rachunki nas w tym upewniają:

Co się stało? Po prostu z mocniejszych założeń wyciągamy więcej wniosków. A że założenie jest częściowo tezą? Tym lepiej! Nic dziwnego, że przy indukcji matematycznej krok indukcyjny dowodzi się prościej, gdy założenie jest silniejsze. Zobaczmy jeszcze jeden przykład.

Spróbujmy wykazać, że dla każdego wartość jest mniejsza od Gdybyśmy użyli zwykłej indukcji, to co prawda baza indukcji by była prawdziwa, bo ale z krokiem indukcyjnym byłoby już trudniej. Załóżmy bowiem, że

Mamy wykazać, że

I widać gołym okiem, że założenie indukcyjne do niczego nam się nie przyda. Co z tego, że suma odwrotności sześcianów aż do włącznie jest mniejsza od skoro nie wiemy, o ile jest mniejsza i czy tam się jeszcze zmieści?

Widać, że dużego pola manewru nie mamy. Po prostu założenie indukcyjne było zbyt słabe. Spróbujmy zatem wzmocnić tezę, twierdząc, że nie tylko ta suma jest mniejsza od ale wręcz od

Co? Że to wcale nie jest prawda? Faktycznie: już dla ta nierówność nie zachodzi. Dla również, nawet dla okazuje się, że przekracza wartość Ale dla już jest OK:

co można sprawdzić za pomocą kalkulatora, albo nawet bez.

Teraz już jest łatwo. Stawiamy hipotezę indukcyjną, że dla zachodzi

Baza już jest udowodniona. Pozostaje krok indukcyjny. Zakładamy zatem, że

i wykażemy, że

To już jest proste.

Mamy bowiem na mocy założenia indukcyjnego

a wykazanie, że prawa strona tej nierówności jest mniejsza od to już jest elementarna algebra. Wystarczy obie strony przemnożyć przez niewątpliwie dodatnią wartość i zredukować powstałą nierówność do równoważnej oczywistej

W ten sposób udowodniliśmy, że nierówność ta zachodzi dla wszystkich Przypadki, gdy możemy sprawdzić ręcznie - ostatecznie dla liczb po prostu wyjściowa nierówność jest spełniona z prawą stroną równą a dla nawet mocniejsza, z odjętym składnikiem po prawej stronie.

Przy okazji można zadać narzucające się pytanie: czy jest najlepszym przybliżeniem sumy nieskończonego szeregu odwrotności sześcianów? Wiemy, że ciąg jego sum częściowych rośnie wraz z i ma ograniczenie górne, więc z twierdzenia Weierstrassa wynika, że ma granicę. Czy jest nią Nie. Można lepiej oszacować tę wartość z góry. Próbowało tego wielu matematyków; pierwszym chyba był Euler, któremu nie udało się rozwiązać zagadki do końca. Podał co prawda związek tej granicy, z której istnienia zdawał sobie zresztą sprawę, z innymi sumami parzystych potęg odwrotności liczb naturalnych. Choć udało mu się wyznaczyć dokładne postacie granic szeregów z drugimi i czwartymi potęgami, oraz to na trzeciej potędze się zaciął.

Nic dziwnego. Mimo z górą dwustuletnich starań matematyków do dziś nie znamy wyrażenia definiującego tę wartość; nie wiemy, czy w ogóle takie wyrażenie istnieje. Znamy ponad bilion (czyli ) cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby, którego początek to 1,2020569031595942853997381615. Wiemy, że jest to liczba niewymierna, choć zostało to udowodnione dopiero w roku 1978 przez francuskiego matematyka Rogera Apéry'ego i od jego nazwiska stała ta jest od tej pory nazywana stałą Apéry'ego. Pojawia się ona zresztą w naturalny sposób przy rozwiązywaniu pewnych zagadnień fizycznych, jak wyznaczanie współczynnika żyromagnetycznego (ilorazu momentu magnetycznego przez moment obrotowy), a także informatycznych przy analizie minimalnych losowych drzew rozpinających graf.

Nie wiemy do tej pory, czy liczba ta jest algebraiczna i czy kiedykolwiek poznamy jej symboliczną postać odnoszącą się na przykład do znanych stałych, takich jak czy Zagadkowa sprawa.