Mały Gauss

Już rok po śmierci Gaussa (w 1856 r.) ukazała się książka wspomnieniowa jego wieloletniego przyjaciela Wolfganga Sartoriusa von Waltershausena Zum Gauss Gedächtniss. Trzeba o niej wiedzieć co najmniej z dwóch powodów. Stąd pochodzi najsłynniejszy aforyzm z matematyką w roli głównej. Jako teoretyk liczb przytoczę go z przyjemnością w pełnej postaci: Matematyka jest królową nauk, a arytmetyka królową matematyki.

Drugi powód to tytułowy kleiner Gauss - tak w obszarze niemieckojęzycznym nazywa się czasem pochodzący z głębokiej starożytności wzór na sumę pierwszych $n$ liczb naturalnych. Nazwa nawiązuje bezpośrednio do najpopularniejszej anegdoty, w której występuje matematyk, podanej właśnie w tej książce. Nie wypada tej anegdoty tu przypominać, gdyż każdy Czytelnik Delty na pewno ją zna. Zastanówmy się tylko, co bardziej kierowało Büttnerem, nauczycielem młodziutkiego Gaussa - chęć poskromienia urwisów, czy też nadzieja wyłowienia perły?

To, że ten dylemat każdego ambitnego nauczyciela jest ponadczasowy, ilustruje poniższa współczesna historia.

Matematyczka, przezywana przez uczniów Fibonaccią (czytaj: Fibonacią) z częstotliwością demaskującą jej wredny charakter zadaje swoim uczniom w klasie następujące zadanie rachunkowe:

Zadanie. Wybierz według uznania dwie liczby naturalne $a$ oraz $b,$ przy czym niech $|a ∈{25,...,99},b ∈ {101,...,199}.$ Następnie oblicz i starannie zapisz w zeszycie pierwsze $20$ wyrazów ciągu danego rekurencyjnie

x1 = a,x2 = b,xn+2 = xn + xn+1 dla n ⩾ 1.

Po zebraniu zeszytów ocenia rozwiązania według schematu: odczytuje $|x11,x15,x17$ i sprawdza, czy

$x11− 8x15 +3x17 = 0.$

Jeśli tak, to zalicza rozwiązanie, a jeśli nie, to nie zalicza. Tak sobie życie upraszcza, że nie sprawdza w ogóle innych wyrazów ciągu $|x1,x2,...,x20.$ Czy godzi się tak postępować? Z tym pytaniem zwracam się do tych wszystkich, którzy nie mieli przyjemności być uczniami Fibonacci :)

Jest też Fibonaccia II, bardziej znana jako czołowa aktywistka ruchu FPNW, która daje zniewalanym przez siebie uczniom jeszcze większą swobodę wyboru parametrów ciągu $|x . n$ Prawi im tak:

Zadanie. Wybierz dowolne liczby naturalne $a,b,c,d$ i wypisz wyrazy $|x1,x2,x3,x4,x5$ ciągu określonego rekurencyjnie:

x1 = a,x2 = b,xn+2 = dxn + cxn+1 dla n ⩾1.

Czytelniku, jeżeli uważasz, że znasz się na ciągach, to jesteś wystarczająco postępowy, aby pomóc F II: podsuń jej wielomian $|F2(x1,x2,x3,x4,x5)$ weryfikujący poprawność rachunku w tym sensie, że jeśli $F2(x1,x2,x3,x4,x5)≠ 0,$ to na pewno uczeń coś pomylił!

Odpowiedź jest tutaj!