Szereg Leibniza i punkty kratowe

Powiążemy tu wzór Leibniza

ß- 1- 1- 1- 1- 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + :::

z geometrią (pola) i teorią liczb. Tekst jest wyraźnie dłuższy od tego, który jest w książce Hilberta i Cohn-Vossena, bo szkicujemy dowód twierdzenia z teorii liczb, na które autorzy jedynie powołują się. Pozostawimy jednak bez dowodu niektóre bardzo znane twierdzenia z teorii liczb, ze względu na ograniczenia miejsca w miesięczniku. Zaznaczyć warto, że podawany zwykle studentom pierwszego roku dowód jest krótszy, ale zdaniem autora tego tekstu, nie pokazuje związku z geometrią, który jest mocno sugerowany obecnością $| ß$ we wzorze.

Używać będziemy liczb zespolonych. Jak zwykle $|i2 = −1.$ Symbol $|Z[i]$ oznacza zbiór liczb zespolonych, których części rzeczywista i urojona są całkowite. Liczby te nazywane są też punktami kratowymi.

Istotny dla dalszych rozważań jest fakt:

Fakt. Liczba całkowita $n$ większa od $|1$ jest sumą kwadratów dwu liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem dwu sprzężonych elementów $|Z[i],$ o modułach większych od $1,$ co wynika z równości $|n = x2 + y2 = (x +yi)(x − yi).$

W $Z[i]$ można zajmować się dzieleniem liczb nieomal tak, jak w zbiorze liczb całkowitych. Liczba $|z1∈Z[i]$ jest dzielnikiem liczby $|z2∈ Z[i]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba $|q∈ Z[i],$ że $|z2 = qz1.$ Liczba $1+ i$ jest dzielnikiem liczby $|2,$ bo $|2 = (1− i)(1+ i).$ Jedynymi dzielnikami jedności w $Z[i],$ czyli dzielnikami liczby $1,$ są $|± 1$ oraz $|±i,$ bo z równości $|1 = qz1$ wynika, że $1 = q 2 z1 2,$ i z tego że $|q,z1∈ Z[i]$ wynika, że $| q 2 = 1 = z1 2,$ a jeśli $x,y ∈ Z$ i $x2 +y2 = 1,$ to $xy = 0.$ Liczbę pierwszą w $Z[i]$ można zdefiniować jako taką, której jedynymi dzielnikami są dzielniki jedności oraz ona sama pomnożona przez jeden z dzielników jedności, ale sama nie jest dzielnikiem jedności. Wtedy $2 = (1− i)(1+ i)$ nie jest liczbą pierwszą, ale $3$ już jest (Czytelniku: dlaczego?). Prawdziwe jest, jak w przypadku podzielności w $|Z,$

Twierdzenie (O jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze). Jeśli $|z∈ Z[i]$ nie jest dzielnikiem jedności, to istnieją liczby pierwsze $|p ,p ,...,p ∈ Z[i] 1 2 k$ takie, że $z = p1p2...pk.$ Jeśli liczby $˜p1,˜p2,...,˜pℓ∈ Z[i]$ są pierwsze i $|z = ˜p1˜p2...p˜ℓ,$ to $k = ℓ$ i po ewentualnej zmianie numeracji ilorazy $ppj˜ j$ są dzielnikami jedności w $|Z[i].$

Dowód można oprzeć na następującym, nietrudnym do uzasadnienia, fakcie.

Obecność $|π$ we wzorze Leibniza sugeruje, że w którymś momencie naszych rozważań powinien pojawić się okrąg.

Twierdzenie (O podwajaniu sumy kwadratów). Na okręgu o promieniu $√ -- | m$ i środku 0 znajduje się tyle samo punktów kratowych, co na okręgu o promieniu $--- √ 2m$ i środku $0. |$

Dowód. Jeśli $m|$ to

2m= (1+ i)(1− i)(a + bi)(a −bi) = (1+ i)(a− bi)(1− i)(a +bi) = 2 2 = ((a +b) + (a− b)i)((a + b)− (a − b)i) = (a + b) + (a− b) .

Jeśli zaś $|2m$ to obie liczby $|c,d$ są parzyste albo obie są nieparzyste. W obu sytuacjach liczby $|a = c+d- 2$ i $b = c−d 2$ są całkowite i oczywiście $2 2 c+d-2 c− d 2 c2+d2 |a + b == ( 2 ) +( 2 ) = 2 = m.$ Innymi słowy, przypisując każdemu punktowi kratowemu $|(a,b)$ punkt $|(a+ b,a − b) = (c,d),$ określamy różnowartościowe przekształcenie zbioru wszystkich punktów kratowych na zbiór wszystkich punktów kratowych, których obydwie współrzędne dają tę samą resztę z dzielenia przez $2.$ Przy tym punktom z okręgu o promieniu $√ -- | m$ przypisywane są punkty z okręgu o promieniu $√ --- | 2m.$

Cały artykuł dostępny jest w wersji do druku [application/pdf]: (467 KB)